Prodotto massimo

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Moderatori: Gianfranco, Bruno

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Quelo
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Prodotto massimo

Messaggio da Quelo »

$\displaystyle \left\{ a_1, a_2, a_3, \dots, a_{n-1}, a_n \right\}$ è un insieme di numeri interi la cui somma è $2022$

1) qual è il prodotto massimo degli $n$ termini?
2) e se i termini fossero tutti diversi?

$\displaystyle \sum_{j=1}^n a_j=2022$

$\displaystyle \prod_{k=1}^n a_k=\;?$
[Sergio] / $17$

Gianfranco
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Re: Prodotto massimo

Messaggio da Gianfranco »

Provo... prendo tutti gli interi da 2 a 64 escluso il 57.
somma = 2022
prodotto = 2226086529576915159709357707634411943909921336395529687698278848687977267200000000000000 = circa 2.2*10^87
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

Quelo
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Re: Prodotto massimo

Messaggio da Quelo »

Esatto Gianfranco!

Quando tutti i termini sono diversi, il prodotto massimo è quello che ha il maggior numero di termini, nel nostro caso $\displaystyle \frac{64!}{57}$
Se volessi usare il 65 dovrei togliere 2 termini la cui somma è 65 ma il cui podotto è sicuramente maggiore di 65

Se rimuoviamo la condizione che i termini debbano essere diversi, il prodotto massimo è $\displaystyle 3^{674}$

In quanto $\displaystyle \sqrt[3]{3^n}$ cresce più velocemente di $\displaystyle \sqrt{2^n}$ e di qualsiasi $\displaystyle \sqrt[x]{x^n} \,|\, x>3$

Suppoiniamo infatti di sostituire una coppia di 3 con una terna di 2, introduciamo un fattore 8 al posto di un fattore 9 ($3^2 > 2^3$)
Allo stesso modo $3^4 > 4^3$ e così via
[Sergio] / $17$

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