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Una somma particolare
Inviato: gio dic 01, 2005 2:11 am
da Mammolo
Trovare la somma di tutti gli interi positivi n per i quali n^2-19n+99 è un quadrato perfetto.
Inviato: ven dic 02, 2005 2:32 pm
da delfo52
19 ?
Inviato: ven dic 02, 2005 2:58 pm
da panurgo
38 ?
P.S.: ? $\equiv$ congettura
Inviato: ven dic 02, 2005 8:32 pm
da delfo52
1+9+10+18 fa 38
resta da dimostrare che la sequenza
9-11-15-21-29-39-51-65-81-99-119-...
in cui la differenza fra i termini aumenta ad ogni passo di due, non toccherà più altri quadrati
Inviato: ven dic 02, 2005 9:15 pm
da panurgo
in alternativa dimostrare che le uniche soluzioni dell'equanzione diofantea
$n = \frac{{99 - m^2 }}{{19 - 2m}}$
sono solo 1 9 10 18
Inviato: sab dic 03, 2005 1:09 am
da Pasquale
Si vuole che:
$n^2 - 19n + 99 = k^2$
1) $n = \frac {19 \mp \sqrt{4k^2 - 35}}{2}$
affinché n sia intero e positivo, è necessario che $\sqrt {4k^2 - 35}$ sia intero e dispari, ma affinché questo sia possibile è necessario che $4k^2 - 35$ almeno sia un quadrato perfetto e cioè che sia:
$4k^2 - 35 = m^2$
2) $k = \frac{\sqrt {m^2 + 35}}{2}$
affinché k sia intero positivo, è necessario che $m^2 + 35$ sia un quadrato perfetto e vediamo che questo è vero per:
m = 1
m = 17
e per valori di m maggiori, se ad $m^2$ aggiungiamo 35, non otteniamo mai un quadrato, poiché dopo i quadrati di 17 e 18, la cui differenza è 35, le differenze fra quadrati successivi sono sempre maggiori di 35.
Dunque, nella 2):
per m = 1, k = 3 e nella 1) $\to$ n = 9; n = 10
per m = 17, k = 9 e nella 1) $\to$ n = 1; n = 18
Conclusione, concordo circa la somma richiesta, ovvero: 9 + 10 + 1 + 18 = 38