La quadratura del triangolo

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Moderatori: Gianfranco, Bruno

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Quelo
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La quadratura del triangolo

Messaggio da Quelo »

Scomporre un triangolo anche non equilatero in 4 parti e ricomporlo come quadrato
Ultima modifica di Quelo il mar mar 01, 2022 8:59 pm, modificato 1 volta in totale.
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Bruno
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Re: La quadratura del triangolo

Messaggio da Bruno »

Molto carino :D
(Bruno)

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sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
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Quelo
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Re: La quadratura del triangolo

Messaggio da Quelo »

In realtà lo stesso metodo si applica a qualsiasi triangolo, per cui rettifico il quesito

Suggerimento: per semplificare il procedimento scegliere un triangolo con area pari a n², per esempio base 2 e altezza 1, oppure base 9 e altezza 8
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Pasquale
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Re: La quadratura del triangolo

Messaggio da Pasquale »

Intanto, ho visto che è molto più semplice triangolarizzare un quadrato in formato isoscele :D
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$\text { }$ciao Immagine ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)

delfo52
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Re: La quadratura del triangolo

Messaggio da delfo52 »

Martin Gardner ha parlato a lungo del problema. Ricordo che parlava di un tavolinetto s-componibile che, incernierato a dovere, poteva assumere la forma triangolare e quella quadrata. Personalmente feci quattro vaschette in terracotta smaltata, come porta-sottaceti, da mettere in tavola con gli antipasti, assemblati a triangolo o a quadrato...
Enrico

Quelo
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Re: La quadratura del triangolo

Messaggio da Quelo »

Più della soluzione in sé, penso che sia interessante il ragionamento.
Per ottenere un quadrato diviso in 4 parti, ipotizzo che ogni parte includa uno degli angoli, quindi i 4 pezzi, che siano triangoli o quadrilateri, dovranno avere un angolo retto.
Inoltre le parti dovranno combaciare a due a due ed i lati adiacenti agli angoli retti, presi a coppie, dovranno misurare quanto il lato del quadrato.
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bautz
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Re: La quadratura del triangolo

Messaggio da bautz »

Qualsiasi triangolo con soli 4 pezzi lo ritengo impossibile.
Ad esempio: un triangolo, supponiamo isoscele, con base 36 e altezza 2, avrebbe area 36.
Un quadrato di pari area dovrebbe avere lato 6. Per tagliare il lato da 36 dovrei dividerlo in almeno 6 pezzi. In 4 soltanto é impossibile: 36/4 avrei come minimo una lunghezza di 9, che é maggiore del lato del quadrato (e anche della diagonale).
É quindi matematicamente impossibile.
Ho trovato un metodo per scomporre un qualsiasi triangolo in n pezzi e ricomporlo nel quadrato equivalente ma, per un triangolo qualsiasi, anche scaleno, serve scomporlo in
minimo 7 pezzi.
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Quelo
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Re: La quadratura del triangolo

Messaggio da Quelo »

Hai ragione, non si può applicare a qualsiasi triangolo
Sono stato un po' precipitoso, intendevo che il triangolo non deve essere necessariamente equilatero o iscolscele, deve però rientrare in un certo intervallo di rapporto base altezza e di forma
Grazie per la precisazione
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bautz
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Re: La quadratura del triangolo

Messaggio da bautz »

Intanto propongo una soluzione con 3 pezzi valida per tutti i triangoli che hanno il lato maggiore pari a 2 volte l'altezza.
AB é pari a 2 volte CJ.
Basta selezionare il punto medio degli altri 2 lati e sezionare come da disegno, dal punto medio fino a perpendicolare alla base.
Incernierando su D ed E, i due triangoli rossi ruotano nella posizione verde, formando il quadrato.
SmartSelect_20230413-005155_Geometry.jpg
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Maurizio59
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Re: La quadratura del triangolo

Messaggio da Maurizio59 »

Ho trovato una divisione in quattro parti di un triangolo rettangolo il cui rapporto tra i cateti deve essere compreso tra 1 e 2 (estremi esclusi).
Prima il triangolo rettangolo si trasforma in un rettangolo e poi il rettangolo si trasforma in un quadrato come in figura.

Immagine
Ultima modifica di Maurizio59 il ven mag 12, 2023 1:58 pm, modificato 1 volta in totale.

Maurizio59
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Re: La quadratura del triangolo

Messaggio da Maurizio59 »

Ho trovato una divisione più generale.
Essa si può applicare a triangoli rettangoli e acutangoli, isosceli e scaleni che hanno un rapporto tra altezza e base (lato minore) compreso tra 1 e 2 (estremi esclusi).
Questa divisione consiste nel trasformare il triangolo in un parallelogramma e poi trasformare il parallelogramma in un quadrato come in figura.

Immagine

Se il triangolo non rientra in questi parametri (rapporto minore di 1) penso si possa utilizzare la scomposizione di Dudeney.

bautz
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Re: La quadratura del triangolo

Messaggio da bautz »

Complimenti Maurizio, ottima soluzione!
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Maurizio59
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Re: La quadratura del triangolo

Messaggio da Maurizio59 »

Grazie bautz.

Ho trovato una bella costruzione che consente di trasformare un triangolo scaleno ottusangolo In un quadrato.
Essa permette di dividere il triangolo in 3 o 4 parti come nelle figure seguenti.
Il rapporto tra l'altezza e la base (lato minore) è 2.

Immagine Immagine

Questo problema si rivela ricco di soluzioni.

bautz
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Re: La quadratura del triangolo

Messaggio da bautz »

Bella!
Anche se limitata a triangoli che abbiano rapporto base altezza di 1:2, questa consente di essere costruita come figura incernierata come accennato da delfo52:
...tavolinetto s-componibile che, incernierato a dovere, poteva assumere la forma triangolare e quella quadrata...
Qui si può incernierare sia la soluzione con 3 pezzi che con 4.
Penso che tra poco arriverai anche alla soluzione con rapporto base/altezza doversi da 1:2 :D
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Bruno
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Re: La quadratura del triangolo

Messaggio da Bruno »

Bel lavoro, Maurizio :D
(Bruno)

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