Triangolo rettangolo.

Il forum di Base5, dove è possibile postare problemi, quiz, indovinelli, rompicapo, enigmi e quant'altro riguardi la matematica ricreativa e oltre.

Moderatori: Gianfranco, Bruno

Rispondi
Bruno
Livello 10
Livello 10
Messaggi: 1899
Iscritto il: lun nov 21, 2005 6:07 pm
Località: Bologna

Triangolo rettangolo.

Messaggio da Bruno »

Determinare i lati di un triangolo rettangolo essendo dati il perimetro e il raggio della circonferenza inscritta. (1901)
Trarne eventuali deduzioni.
(Bruno)

...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}

Quelo
Livello 7
Livello 7
Messaggi: 716
Iscritto il: ven giu 16, 2006 3:34 pm

Re: Triangolo rettangolo.

Messaggio da Quelo »

Se $p$ è il perimetro e $r$ è il raggio, i 3 lati sono

$\displaystyle a=\frac{p+2\,r-\sqrt{p^2-12\,p\,r+4r^2}}{4}$
$\displaystyle b=\frac{p+2\,r+\sqrt{p^2-12\,p\,r+4r^2}}{4}$
$\displaystyle c=p-a-b$

Aggiungerei anche che l'area è $\displaystyle A=\frac{p\,r}{2}$

SE&O
[Sergio] / $17$

Bruno
Livello 10
Livello 10
Messaggi: 1899
Iscritto il: lun nov 21, 2005 6:07 pm
Località: Bologna

Re: Triangolo rettangolo.

Messaggio da Bruno »

Bene. Penso che la cosa più importante (oltre al procedimento) sia dire qualcosa sul radicando :wink:
(Bruno)

...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}

Quelo
Livello 7
Livello 7
Messaggi: 716
Iscritto il: ven giu 16, 2006 3:34 pm

Re: Triangolo rettangolo.

Messaggio da Quelo »

L'unica cosa che mi viene in mente è che

$p^2+d^2 \ge 6\,p\,d$

ma non saprei cosa farci
[Sergio] / $17$

Bruno
Livello 10
Livello 10
Messaggi: 1899
Iscritto il: lun nov 21, 2005 6:07 pm
Località: Bologna

Re: Triangolo rettangolo.

Messaggio da Bruno »

$p\;$ ed $\;r\;$ sono dati: come dobbiamo sceglierli, Sergio, perché il triangolo rettangolo esista?
(Bruno)

...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}

panurgo
Livello 9
Livello 9
Messaggi: 1441
Iscritto il: sab nov 19, 2005 3:45 pm
Località: Padova

Re: Triangolo rettangolo.

Messaggio da panurgo »

TriRet.05.400x480..png
TriRet.05.400x480..png (18.3 KiB) Visto 629 volte
Con riferimento alla figura, data una circonferenza di raggio unitario tracciamo due rette tangenti alla circonferenza e perpendicolari tra loro. Tracciamo un terza retta tangente che forma un angolo $\beta:\,0<\beta<\frac\pi2$ con una delle altre due ottenendo un triangolo rettangolo.

In questo modo la lunghezza dei lati (e del perimetro) è misurata dal raggio.

Al variare dell'angolo varierà la forma del triangolo e la lunghezza di lati: evidentemente

$\displaystyle \lim_{\beta\to 0}p=\lim_{\beta\to\frac\pi2}p=+\infty$

Per simmetria il valore minimo del perimetro si ha quando $\beta=\frac\pi4$: per usare la notazione di Quelo (di solito con $p$ si intende il semiperimetro), $p_\text{min}=6+4\sqrt2$.

Quindi deve essere $p\geq\left(6+4\sqrt2\right)r$.
il panurgo

Principio di Relatività: {\bb m} \not \right {\bb M} \ \Longleftrightarrow \ {\bb M} \not \right {\bb m}
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"

Bruno
Livello 10
Livello 10
Messaggi: 1899
Iscritto il: lun nov 21, 2005 6:07 pm
Località: Bologna

Re: Triangolo rettangolo.

Messaggio da Bruno »

Ottimo :D

Come correttamente Guido ha osservato, il perimetro è minimo quando il triangolo rettangolo è isoscele.
Fra tutti i cerchi inscritti in un triangolo rettangolo di perimetro dato, inoltre, quello con raggio massimo appartiene al triangolo isoscele.
(Bruno)

...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}

Rispondi