Probabilità che 4 punti siano "quasi" su una circonferenza

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Gianfranco
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Probabilità che 4 punti siano "quasi" su una circonferenza

Messaggio da Gianfranco »

La procedura di Sergio per risolvere il problema dei punti conciclici viewtopic.php?f=1&t=8587&sid=50d56d0946 ... 6cc35ecf0f suggerisce quest'altro problema...

---
Nel piano cartesiano, consideriamo un quadrato di 100x100 unità.
Segniamo 30 punti a caso interni al quadrato.
Qual è la probabilità che una quaterna di punti sia tale che uno di essi stia quasi sulla circonferenza individuata dagli altri tre?
Oppure:
Qual è la probabilità che ci sia una quaterna di punti che stiano quasi su una stessa circonferenza?

Per "quasi" intendo con una tolleranza di $\pm 0.1$ su entrambe le coordinate.
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Potete cambiare i dati a piacere e/o generalizzare:
griglia: a x b
numero punti: n
tolleranza: $\pm d$
---

Credo che con trenta punti (supponendo che non ce ne siano 3 allineati) si formino 4060 terne distinte per cui passano altrettante circonferenze.
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

Quelo
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Re: Probabilità che 4 punti siano "quasi" su una circonferenza

Messaggio da Quelo »

Ho fatto qualche simulazione con griglia 100x100 e tolleranza ±0,05
Per quanto possa apparire controintuitivo, già con 10 punti la probabilità va dal 50% al 70% (6 volte su 10 si trova almeno un gruppo di 4 punti conciclici) con una media di 2 circonferenze per volta.
Con 13 punti la probabilità sale a 90-100% con una media di 4 circonferenze
Con 15 punti si arriva a 99-100% con una media di 9 circonferenze

Ecco esempi con 10, 13 e 15 punti
circo1-10.png
circo1-10.png (8.58 KiB) Visto 670 volte
circo4-13.png
circo4-13.png (12.33 KiB) Visto 670 volte
circo7-15.png
circo7-15.png (16.54 KiB) Visto 670 volte
Ultima modifica di Quelo il ven feb 18, 2022 11:10 pm, modificato 1 volta in totale.
[Sergio] / $17$

Quelo
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Re: Probabilità che 4 punti siano "quasi" su una circonferenza

Messaggio da Quelo »

Con 30 punti e precisione di 0,01 ottengo comunque dalle 10 alle 20 circonferenze

circo15-30.png
circo15-30.png (23.44 KiB) Visto 670 volte

Il procedimento è abbastanza semplice:
Dati 3 punti, individuo il punto equidistante da tutti e la relativa distanza (centro e raggio della circonferenza),
se uno degli altri punti si trova alla stessa distanza dal centro (entro il margine di errore) i quattro punti sono conciclici
[Sergio] / $17$

Quelo
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Re: Probabilità che 4 punti siano "quasi" su una circonferenza

Messaggio da Quelo »

Vi propongo un'aproccio al problema
Per semplificare i calcoli consideriamo una griglia circolare invece che quadrata
Esaminaimo il caso con 15 punti (qui il dato sperimentale è 99,93% di probabilità)
diametro griglia $d=100$
passo griglia $p=0,1$
punti $n=15$
I gruppi distinti di 3 punti sono $\displaystyle \begin{pmatrix}n \\ 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}15 \\ 3 \end{pmatrix}=455$
Ogni gruppo individua una circonferenza con centro in $c$ e raggio $r$
La circonferenza intercetta la griglia, quindi il raggio è compeso nell'intervallo $x, x+d \cdot p$
Dobbiamo stabilire su uno degli $n-3$ punti restanti dista $r$ da $c$
Ci sono 455 circonferenze in un intevallo di 1000 valori per $r-x$
Ipotizziamo che siano uniformemente distribuite e che quindi coprano effettivamente 455 delle 1000 possibilità
Sarebbe come avere 1000 palline di cui 455 nere e 545 bianche.
Dobbiamo quindi calcolare la probabilità $P_N$ di estrarre almeno una pallina nera su 12
Questa è complementare alla probabilità di non estrarre nessuna pallina nera e si calcola come:
$\displaystyle P_N=1-\prod_{k=0}^{n-4}\frac{d \cdot p - \begin{pmatrix}n \\ 3 \end{pmatrix} - k}{d \cdot p}=1-\prod_{k=0}^{11}\frac{545-k}{1000}=99,94\%$

In questo caso siamo in accordo con il dato sperimentale e ancora di più se si aumenta il nuemro dei punti
Se invece andiamo a ridurre $n$ lo scostamento diventa più marcato, per esempio con 13 punti il calcolo fornisce 96,8%, mentre la simulaizone 98,7%, quindi c'è qualche approssimazione di troppo
[Sergio] / $17$

Quelo
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Re: Probabilità che 4 punti siano "quasi" su una circonferenza

Messaggio da Quelo »

Dopo alcuni ragionamenti ho trovato quella che potrebbe essere una buona approssimazione
Partiamo da una griglia circolare e indichiamo con $d$ il diametro in unità di griglia e con $r$ il raggio
L'area totale sarà $\pi r^2$ unità di griglia
Per ogni circonfrenza che passa sulla griglia dobiamo sottrarre un'area pari alla lunghezza dell'arco (al netto della parte che cade sulla superficie già coperta)
Tale lunghezza varia da zero a $\pi d$, ma gli archi non sono distribuiti in modo uniforme, per cui poniamo la lunghezza media pari a $(1+\frac23)\pi r$ che si accorda con i dati sperimentali
Quindi la superficie non coperta rimanente sarà $\displaystyle \pi r^2 \left(1-\frac{1+\frac23}{d}\right)$ e dopo $x$ circonferenze la supeficie libera sarà $\displaystyle \pi r^2\left(1-\frac{1+\frac23}{d}\right)^x$
La probabilità si può calcolare ignorando il termine variabile della produttoria, quindi come semplice potenza
$\displaystyle P_N=1-\left(\left(1-\frac{1+\frac23}{d}\right)^{\begin{pmatrix}n \\ 3 \end{pmatrix}}\right)^{n-3}$
Questa formula si sposa bene con i dati delle simulazioni

Codice: Seleziona tutto

d	n	Pn	simulato
1000	10	75,37%	75,5%
1000	13	99,2%	98,8%
1000	15	99,99%	99,95%
10000	15	59,75%	63%
10000	20	96%	96%
10000	22	99,24%	99%
100000	30	83,9%	87%
100000	33	93,47%	95%
[Sergio] / $17$

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