Punti conciclici

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Gianfranco
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Punti conciclici

Messaggio da Gianfranco »

Cari amici, seduto in poltrona davanti al caminetto acceso, stavo rileggendo il libro di Martin Gardner, The COLOSSAL Book of SHORT PUZZLES and PROBLEMS, quando ho visto un problema che mi ha colpito più degli altri.
Allora l'ho modificato un po' e ve lo propongo.
---
Quattro rettangoli e sette cerchi di carta sono posati su un tavolo come mostrato nella figura.
Ogni vertice di un rettangolo e ogni intersezione di due linee individua un punto.
Cercate almeno cinque insiemi di 4 punti conciclici, cioè che si trovano su una stessa circonferenza.
Per esempio, uno di questi insiemi è formato dai vertici del rettangolo ABCD.
---
Non è ammesso prendere dei punti che non siano vertici o intersezioni di linee tracciate nel disegno.
Per facilitare la ricerca, si possono tracciare segmenti che congiungono punti validamente individuati.
Edit: Non è ammesso generare nuovi punti, per esempio prolungando i segmenti tracciati o i lati dei rettangoli, etc.
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Re: Punti conciclici

Messaggio da franco »

Giusto per conferma ... i vertici o le intersezioni che NON sono visibili nell'immagine (perchè coperti da figure soprastanti) NON vanno considerati?
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Re: Punti conciclici

Messaggio da Quelo »

Uscendo dagli schemi, anche questi 4 punti sono conciclici :wink:

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Re: Punti conciclici

Messaggio da Gianfranco »

franco ha scritto:
mer feb 16, 2022 11:11 am
Giusto per conferma ... i vertici o le intersezioni che NON sono visibili nell'immagine (perchè coperti da figure soprastanti) NON vanno considerati?
Non vanno considerati.
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Re: Punti conciclici

Messaggio da Gianfranco »

Quelo ha scritto:
mer feb 16, 2022 11:18 am
Uscendo dagli schemi, anche questi 4 punti sono conciclici :wink:
Se fosse vero, avresti trovato la sesta soluzione!
E sarebbe anche un evento con probabilità molto bassa.
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Re: Punti conciclici

Messaggio da franco »

Sempre uscendo dagli schemi ci sono anche questi quattro (e altre quaterne dello stesso genere):
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(cerchio con raggio infinito :))
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Re: Punti conciclici

Messaggio da Gianfranco »

franco ha scritto:
mer feb 16, 2022 11:40 am
Sempre uscendo dagli schemi ci sono anche questi quattro (e altre quaterne dello stesso genere):
(cerchio con raggio infinito :))
Beh, credo di aver letto in un vecchio libro di geometria proiettiva che se aggiungiamo alla retta il punto all'infinito, la retta si chiude e diventa una circonferenza.
In questo caso, però, le circonferenze da cercare hanno raggio finito.
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Re: Punti conciclici

Messaggio da Quelo »

Sul disegno ci sono 34 punti (vertici o intersezioni), quindi i gruppi distinti di 4 punti sono 46376.
Prendendo come punto fisso quello in basso a sinistra del rettangolo rosa, ho trovato 25 soluzioni accettabili (a seconda del grado di precisione con cui si considera la circonferenza passante per uno dei punti), più quelle dubbie
Ne metto qui un paio che sembrerebbero passare per 5 punti (forse anche 6)

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Re: Punti conciclici

Messaggio da Gianfranco »

Cerco di spiegare meglio.
Non si deve fare una ricerca combinatoria delle quaterne di punti, perché è di fatto impraticabile.
Bisogna invece individuare delle quaterne di punti che sono necessariamente su una stessa circonferenza. E dimostrarlo con ragionamenti geometrici.
Questo problema mi ha stupito perché i ragionamenti sono assolutamente elementari: tipo da seconda media.
Per dare l'idea, propongo una versione più semplice.
---
Nella figura, due rettangoli e un cerchio sovrapposti individuano 12 punti nel piano.
Quattro di questi punti stanno sicuramente su una stessa circonferenza.
Quali sono?
Perché?
---
Il cerchio verde serve a coprire due vertici dei rettangoli e ridurre così il numero delle possibili circonferenze.
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Re: Punti conciclici

Messaggio da Bruno »

Penso che la via sia questa (posto di fretta):

B5 - Punti conciclici.jpg
B5 - Punti conciclici.jpg (40.46 KiB) Visto 1159 volte


[Risposta al post precedente di Gianfranco, che ho visto dopo aver preparato i miei disegni: EDHG.]
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Re: Punti conciclici

Messaggio da Gianfranco »

Bruno ha scritto:
mer feb 16, 2022 5:43 pm
Penso che la via sia questa (posto di fretta):
Bruno, olè.
Ne manca ancora uno...
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Re: Punti conciclici

Messaggio da Gianfranco »

Le forme sono disposte abbastanza casualmente come pure sono abbastanza casuali le loro dimensioni. Devono rispettare alcune condizioni ma c'è molta tolleranza.
Perciò le soluzioni trovate da Sergio sono dovute a coincidenze e magari rientrano negli spessori delle linee.
Però mi stupisce che ci siano così tante coincidenze, non me l'aspettavo!
Forse bisogna stare più attenti a evitare queste possibilità nel fare il disegno.
O forse, individuando punti in quel modo, la probabilità che 4 siano quasi su una circonferenza è abbastanza alta.
Per "accertamenti", allego il disegno originale di Gardner.
Gardner_orig.png
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Re: Punti conciclici

Messaggio da Gianfranco »

Su questo quesito di Gardner c'è un piccolo aneddoto.
Nella prima versione, egli chiedeva di trovare solo tre insiemi di 4 punti conciclici. Però molti lettori trovarono una quarta soluzione.
Il disegno allora fu modificato per escludere la quarta soluzione.
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Re: Punti conciclici

Messaggio da Quelo »

Perdonate l'approccio brute-force
.
.
L'ultimo era ovvio, quasi banale

gardner5.png
gardner5.png (113.07 KiB) Visto 1141 volte

So che non è matematicamente rilevante, ma il caso vuole che ci siano molti altri gruppi di punti che risultano conciclici, guardate questo per esempio

gardner1.png
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Re: Punti conciclici

Messaggio da Gianfranco »

Quelo ha scritto:
mer feb 16, 2022 10:55 pm
Perdonate l'approccio brute-force
Sergio, olé per la quinta soluzione!
Per l'approccio combinatorio non c'è niente da perdonare, anzi la presenza di tante quaterne di punti conciclici è un mistero da spiegare in qualche modo.
L'ultimo esempio che hai fatto è eclatante.
Questo fenomeno si può spiegare con la probabilità? Non ne ho la minima idea!
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

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