Ripetizioni finali

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Moderatori: Gianfranco, Bruno

franco
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Ripetizioni finali

Messaggio da franco »

Determinare i più piccoli numeri interi positivi (se esistono) i cui cubi terminano ripetendo per $x$ volte la stessa cifra $x$, per $x$ che varia da 1 a 9.


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Déterminer les plus petits nombres entiers positifs (quand ils existent) dont les cubes se terminent respectivement par x fois le même chiffre x, pour x variant de 1 à 9.
Franco

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Gianfranco
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Re: Ripetizioni finali

Messaggio da Gianfranco »

$1^3=1$ - termina con 0 volte la cifra 0
$1^3=1$ - termina con 1 volte la cifra 1
$??? $- termina con 2 volte la cifra 2
$477^3 = 108531333$ - termina con 3 volte la cifra 3
...

Esiste un numero $n$ il cui cubo termina per $22$?
Se esiste, allora la sua cifra delle unità deve essere $8$.

$(10n+8)^3 = 100k+22$

Ricaviamo k:
$\Large k=\frac{100 {{n}^{3}}+240 {{n}^{2}}+192 n+49}{10}$

Affinché $k$ sia intero, dovrebbe essere:
$192n + 49$ divisibile per $10$

Ma ciò non non è possibile perché $192n$ è pari e $49$ è dispari.

Salvo erori & ommisioni
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

Quelo
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Re: Ripetizioni finali

Messaggio da Quelo »

I cubi, così come le altre potenze, hanno questa proprietà:
le ultime n cifre del cubo di m sono uguali alla ultime n cifre del cubo delle ultime n cifre di m
Ad esempio
2^3=8
42^3=74088
342^3=40001688
1342^3=2416893688

Infatti
$m^3=(a\cdot 10^n+b)^3=a^3\cdot 10^{3n}+3a^2 \cdot b \cdot 10^{2n}+a \cdot b^2 \cdot 10^n+b^3$

Quindi se cerchiamo il più piccolo numero il cui cubo termina con 1 dovremo cercare nei numeri di 1 cifra
Quello il cui cubo termina con 22, se esiste, sarà un numero di 2 cifre e se non c'è tra in numeri di 2 cifre allora non esiste
A questo punto non ci resta che testare i numeri fino a 999.999.999 (si fa per dire)
Ecco i risultati parziali:

Codice: Seleziona tutto

n	m		m^3
1 	1 		1 
3 	477 		108531333
7 	9660753		901639512372747777777
8 	11576942	1551606436464188888888
Ed ecco i risultati finali (e chi se l'aspettava?)

Codice: Seleziona tutto

9 	999999999 	999999997000000002999999999
Ultima modifica di Quelo il mar feb 08, 2022 5:02 pm, modificato 1 volta in totale.
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franco
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Re: Ripetizioni finali

Messaggio da franco »

Mi sembra perfetto ...
Perchè non lo metti in francese e spedisci la soluzione agli amici transalpini?
:D :D :D
Franco

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Re: Ripetizioni finali

Messaggio da Gianfranco »

Ottimo, Quelo!
Pace e bene a tutti.
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Re: Ripetizioni finali

Messaggio da Quelo »

Visto il risultato del 9 mi sono reso conto che ci si poteva arrivare, infatti:

finale 9, quadrato finale 1, cubo finale 9
finale 99, quadrato finale 01, cubo finale 99
finale 999, quadrato finale 001, cubo finale 999
...
$(10^n-1)^3=10^{3n}-3 \cdot 10^{2n} + 3 \cdot 10^n - 1$

1 è banale
2 non esiste, come ha dimostrato Gianfranco
3 ci si arriva abbastanza facilmente

Bisogna dimostrare che non esistono 4,5,6 e come si arriva a 7 e 8
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Bruno
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Re: Ripetizioni finali

Messaggio da Bruno »

Penso infatti che gli amici transalpini si aspettino un procedimento abbordabile con carta e penna, senza software ;)

Non ho ancora avuto il tempo di cercarlo.
Ma quando oggi pomeriggio ho visto questo problema, ho escluso alcuni casi semplicemente così (certi fatti sono noti o comunque tracciabili a mano):
22: passando i cubi a modulo 4, si ottengono i resti 0, 1 e 3, mentre 22 mod 4 dà 2;
4444: passando i cubi a modulo 8, si ottengono i resti 0, 1, 3, 5 e 7, mentre 44 mod 8 dà 4;
666666: con 66 mod 8 si ottiene 2 e non 0, 1, 3, 5 oppure 7;
̶5̶5̶5̶5̶5̶:̶ ̶p̶a̶s̶s̶a̶n̶d̶o̶ ̶i̶ ̶c̶u̶b̶i̶ ̶a̶ ̶m̶o̶d̶u̶l̶o̶ ̶9̶,̶ ̶s̶i̶ ̶o̶t̶t̶e̶n̶g̶o̶n̶o̶ ̶i̶ ̶r̶e̶s̶t̶i̶ ̶0̶,̶ ̶1̶ ̶e̶ ̶8̶,̶ ̶m̶e̶n̶t̶r̶e̶ ̶5̶5̶5̶5̶5̶ ̶m̶o̶d̶ ̶9̶ ̶d̶à̶ ̶7̶.̶
(Bruno)

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Re: Ripetizioni finali

Messaggio da Gianfranco »

@Bruno, che forza il modulo!
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Re: Ripetizioni finali

Messaggio da Quelo »

@Bruno grazie per i moduli, ok 2, 4 e 6

$100x+22 \equiv 2 \pmod{4}$
$1000x+444 \equiv 4 \pmod{8}$
$1000x+666 \equiv 4 \pmod{8}$
Non possono essere cubi

Non ho capito il 5 per cui ragiono in altro modo
Solo i numeri che terminano per 5 danno cubi che teminano per 5, i quali però terminano per 25 o 75, quindi non può esistere un cubo che termina per 55
$(10x+5)^3=1000x^3+1500x^2+750x+125$

Veniamo al 7
Per avere finale 7 sul cubo, il numero deve terminare con il 3
$(10x+3)^3=1000x^3+900x^2+270x+27$

$70x+27$ deve terminare con $77$, quindi $7x+2=10y+7$ e $x$ vale $5$

$(100x+53)^3=1000000x^3+1590000x^2+842\underline{7}00x+148\underline{8}77$

$7x+8=10y+7$, quindi $x$ vale $7$

$7x$ più la quartultima cifra di $753^3$ deve terminare per $7$

$7x+7=10y+7$ quindi $x$ vale $0$

reiterando il processo si arriva a $9660753$ il cui cubo termina con $7$ volte $7$

Lo stesso procedimento funziona anche per l'8 ma con qualche accorgimento
Il finale di partenza è 2 e la cifra che moltiplica x è ancora il 2, questo significa che x può sempre assumere 2 valori (1 con 6, 2 con 7, ecc...)
Al momento non ho individuato il criterio di scelta
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Re: Ripetizioni finali

Messaggio da Bruno »

Quelo ha scritto:
mar feb 08, 2022 8:49 pm
Non ho capito il 5 per cui ragiono in altro modo
Nemmeno io l'ho capito :D è una pura idiozia!
(Bruno)

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Re: Ripetizioni finali

Messaggio da Quelo »

Quelo ha scritto:
mar feb 08, 2022 8:49 pm
Lo stesso procedimento funziona anche per l'8 ma con qualche accorgimento
Il finale di partenza è 2 e la cifra che moltiplica x è ancora il 2, questo significa che x può sempre assumere 2 valori (1 con 6, 2 con 7, ecc...)
Al momento non ho individuato il criterio di scelta
Non sembra esserci un criterio univoco che garantisca di aggiungere sempre un 8 (come invece abbiamo fatto per il 7)
Si procede esplorando le due possibilità finché una delle strade non si interrompe (cifra da sommare dispari)
Per esempio il numero 11576942, che pure è la soluzione cercata, non consente di andare oltre, per aggiungere un 8 dovremo usare 36576942 o 86576942

Codice: Seleziona tutto

      2                         8
      
     42                     74088
     92                    778688

    442                  86350888
    942                 835896888
    192                   7077888  stop
    692                 331373888  stop

   4442               87646718888  stop
   9442              841767178888  stop
   1942                7323988888  stop
   6942              334544448888

  51942           140138028588888  stop
  26942            19556426288888
  76942           455502130888888

 326942         34947180653888888  stop
 826942        565490287699888888  stop
 576942        192042109176888888

1576942       3921454323268888888
6576942     284493295393728888888

11576942   1551606436464188888888  stop
61576942 233482509347168788888888  stop
36576942  48935291641816488888888
86576942 648943259552521088888888
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Re: Ripetizioni finali

Messaggio da franco »

Bruno ha scritto:
mar feb 08, 2022 5:21 pm
Penso infatti che gli amici transalpini si aspettino un procedimento abbordabile con carta e penna, senza software ;)
In effetti questo problema ha nella classificazione 4 stelle (su 5) e l'icona della calcolatrice. Non quella del computer :)

Le 4 stelle sono dovute anche al fatto che, oltre a quella postata, c'era un'ulteriore domanda:
Recenser les chiffres x , 1≤ x ≤ 9, tels que pour tout entier k quelconque fixé à l’avance, on sait trouver un entier N dont le cube se termine par k fois le chiffre x. Justifier la réponse.

Provo a tradurla:
Elencare le cifre $x$ , $1≤ x ≤ 9$, tali per cui per qalsiasi intero $k$ scelto in anticipo, si sappia trovare un intero $N$ il cui cubo termina con $k$ volte la cifra $x$. Giustificare la risposta.

Mi sembra che Sergio sia già sulla strada :D
Franco

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Re: Ripetizioni finali

Messaggio da Bruno »

Caso 55555, senza congruenze e senza conoscere le possibili due cifre finali (non nulle) di un cubo.

Se avessimo un cubo terminante con 55:

n³ = 100·α+55,

avremmo anche, moltiplicando i due membri per 8:

(2·n)³ = 800·α+440 = 100·β+40,

vale a dire un cubo terminante con un solo zero e non almeno tre :wink:

Il metodo è applicabile anche alle terminazioni 22 [moltiplicando per 125: (5·n)³ = 100·β+50], 66 [(5·n)³ = 100·β+50] e 444 [(5·n)³ = 1000·β+500].
(Bruno)

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Re: Ripetizioni finali

Messaggio da Bruno »

Quelo ha scritto:
mar feb 08, 2022 11:47 pm
Non sembra esserci un criterio univoco che garantisca di aggiungere sempre un 8 (come invece abbiamo fatto per il 7)
Si procede esplorando le due possibilità finché una delle strade non si interrompe (cifra da sommare dispari)

En passant... sfrutto il fatto che 8 è un cubo.
Con il criterio già illustrato da Sergio, ottengo la sequenza che segue (per miglior chiarezza, lascio all'inizio alcuni superflui passaggi intermedi, ulteriormente semplificabili):

1 {1 uno}
(10·x+1)³ = 10³·x³ + 3·10²·1·x² + 3·10·1²·x + 1³
(1³-11)/10 = -1
→ 3·1²·x - 1 ≡ 0 (mod 10)
→ 3·x - 1 ≡ 0 (mod 10) → x = 7

71 {2 uno}
(100·x+71)³ = 100³·x³ + 3·100²·71·x² + 3·100·71²·x + 71³
(71³-111)/100 = 3578
→ 3·71²·x + 3578 ≡ 0 (mod 10)
→ 3·x + 8 ≡ 0 (mod 10) → x = 4

471 {3 uno}
(471³-1111)/1000 = 104486
→ 3·x + 6 ≡ 0 (mod 10) → x = 8

8471 {4}
(8471³-11111)/10000 = 60786066
→ 3·x + 6 ≡ 0 (mod 10) → x = 8

88471 {5}
(88471³-111111)/10⁵ mod 10 = 4
→ 3·x + 4 ≡ 0 (mod 10) → x = 2

288471 {6}
(288471³-1111111)/10⁶ mod 10 = 6
→ 3·x + 6 ≡ 0 (mod 10) → x = 8

8288471 {7}
(8288471³-11111111)/10⁷ mod 10 = 2
→ 3·x + 2 ≡ 0 (mod 10) → x = 6

68288471 {8},
368288471 {9},
7368288471 {10},
37368288471 {11},
637368288471 {12},
6637368288471 {13},
16637368288471 {14}, ...

Pertanto, il doppio di ciascuno di questi termini costituisce la base di un cubo che termina con un numero di 8 uguale a quello indicato nelle parentesi graffe.
Così dovremmo avere quel criterio univoco che garantisce di aggiungere sempre un 8, su cui si interrogava Sergio.

Non sono riuscito a trovare una forma chiusa per tali numeri, però mi sembrano interessanti.
(Bruno)

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Quelo
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Re: Ripetizioni finali

Messaggio da Quelo »

Bravo Bruno, ottima intuizione
Sospettavo che ci fosse qualcosa da dimezzare, avendo 2 scelte
Questo si può fare con il finale 8, così il moltiplicatore di x passa da 2 a 3 e la scelta diventa univoca

Per rispondere alla domanda aggiuntiva:
Il moltiplicatore di x per il finale f è l'ultima cifra di 3f²
m = [3, 2, 7, 8, 5, 8, 7, 2, 3]
Quando m vale 3 o 7 (finali 1, 3, 7, 9), i multipli di m da 0 a 9 terminano con tutte le cifre a 0 a 9, quindi è sempre possibile aggiungere la cifra che incrementa di 1 le cifre f finali
Caso particolare per il finale 8 con l'accorgimento proposto da Bruno

Codice: Seleziona tutto

finale  1
1 { 1 }
71 { 2 }
471 { 3 }
8471 { 4 }
88471 { 5 }
288471 { 6 }
8288471 { 7 }
68288471 { 8 }
368288471 { 9 }
7368288471 { 10 }
37368288471 { 11 }
637368288471 { 12 }
6637368288471 { 13 }
16637368288471 { 14 }
716637368288471 { 15 }
8716637368288471 { 16 }
58716637368288471 { 17 }
858716637368288471 { 18 }
9858716637368288471 { 19 }
79858716637368288471 { 20 }

finale  2
8 { 1 }

finale  3
7 { 1 }
77 { 2 }
477 { 3 }
6477 { 4 }
46477 { 5 }
446477 { 6 }
5446477 { 7 }
85446477 { 8 }
385446477 { 9 }
4385446477 { 10 }
44385446477 { 11 }
644385446477 { 12 }
8644385446477 { 13 }
38644385446477 { 14 }
138644385446477 { 15 }
5138644385446477 { 16 }
15138644385446477 { 17 }
15138644385446477 { 18 }
5015138644385446477 { 19 }
15015138644385446477 { 20 }

finale  4
4 { 1 }
14 { 2 }

finale  5
5 { 1 }

finale  6
6 { 1 }

finale  7
3 { 1 }
53 { 2 }
753 { 3 }
753 { 4 }
60753 { 5 }
660753 { 6 }
9660753 { 7 }
99660753 { 8 }
899660753 { 9 }
3899660753 { 10 }
33899660753 { 11 }
233899660753 { 12 }
7233899660753 { 13 }
97233899660753 { 14 }
497233899660753 { 15 }
1497233899660753 { 16 }
31497233899660753 { 17 }
631497233899660753 { 18 }
9631497233899660753 { 19 }
59631497233899660753 { 20 }

finale  8
2 { 1 }
142 { 2 }
942 { 3 }
16942 { 4 }
176942 { 5 }
576942 { 6 }
16576942 { 7 }
136576942 { 8 }
736576942 { 9 }
14736576942 { 10 }
74736576942 { 11 }
1274736576942 { 12 }
13274736576942 { 13 }
33274736576942 { 14 }
1433274736576942 { 15 }
17433274736576942 { 16 }
117433274736576942 { 17 }
1717433274736576942 { 18 }
19717433274736576942 { 19 }
159717433274736576942 { 20 }

finale  9
9 { 1 }
99 { 2 }
999 { 3 }
9999 { 4 }
99999 { 5 }
999999 { 6 }
9999999 { 7 }
99999999 { 8 }
999999999 { 9 }
9999999999 { 10 }
99999999999 { 11 }
999999999999 { 12 }
9999999999999 { 13 }
99999999999999 { 14 }
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99999999999999999999 { 20 }
[Sergio] / $17$

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