Ripetizioni finali
Moderatori: Gianfranco, Bruno
Questo forum è una sezione del PORTALE DI BASE CINQUE
Ripetizioni finali
Determinare i più piccoli numeri interi positivi (se esistono) i cui cubi terminano ripetendo per $x$ volte la stessa cifra $x$, per $x$ che varia da 1 a 9.
www.diophante.fr
A391
Déterminer les plus petits nombres entiers positifs (quand ils existent) dont les cubes se terminent respectivement par x fois le même chiffre x, pour x variant de 1 à 9.
www.diophante.fr
A391
Déterminer les plus petits nombres entiers positifs (quand ils existent) dont les cubes se terminent respectivement par x fois le même chiffre x, pour x variant de 1 à 9.
Franco
ENGINEER
noun. (en-juh-neer)
someone who does precision guesswork based on unreliable data provided by those of questionable knowledge.
See also wizard, magician
ENGINEER
noun. (en-juh-neer)
someone who does precision guesswork based on unreliable data provided by those of questionable knowledge.
See also wizard, magician
-
- Supervisore del sito
- Messaggi: 1723
- Iscritto il: ven mag 20, 2005 9:51 pm
- Località: Sestri Levante
- Contatta:
Re: Ripetizioni finali
$1^3=1$ - termina con 0 volte la cifra 0
$1^3=1$ - termina con 1 volte la cifra 1
$??? $- termina con 2 volte la cifra 2
$477^3 = 108531333$ - termina con 3 volte la cifra 3
...
Esiste un numero $n$ il cui cubo termina per $22$?
Se esiste, allora la sua cifra delle unità deve essere $8$.
$(10n+8)^3 = 100k+22$
Ricaviamo k:
$\Large k=\frac{100 {{n}^{3}}+240 {{n}^{2}}+192 n+49}{10}$
Affinché $k$ sia intero, dovrebbe essere:
$192n + 49$ divisibile per $10$
Ma ciò non non è possibile perché $192n$ è pari e $49$ è dispari.
Salvo erori & ommisioni
$1^3=1$ - termina con 1 volte la cifra 1
$??? $- termina con 2 volte la cifra 2
$477^3 = 108531333$ - termina con 3 volte la cifra 3
...
Esiste un numero $n$ il cui cubo termina per $22$?
Se esiste, allora la sua cifra delle unità deve essere $8$.
$(10n+8)^3 = 100k+22$
Ricaviamo k:
$\Large k=\frac{100 {{n}^{3}}+240 {{n}^{2}}+192 n+49}{10}$
Affinché $k$ sia intero, dovrebbe essere:
$192n + 49$ divisibile per $10$
Ma ciò non non è possibile perché $192n$ è pari e $49$ è dispari.
Salvo erori & ommisioni
Pace e bene a tutti.
Gianfranco
Gianfranco
Re: Ripetizioni finali
I cubi, così come le altre potenze, hanno questa proprietà:
le ultime n cifre del cubo di m sono uguali alla ultime n cifre del cubo delle ultime n cifre di m
Ad esempio
2^3=8
42^3=74088
342^3=40001688
1342^3=2416893688
Infatti
$m^3=(a\cdot 10^n+b)^3=a^3\cdot 10^{3n}+3a^2 \cdot b \cdot 10^{2n}+a \cdot b^2 \cdot 10^n+b^3$
Quindi se cerchiamo il più piccolo numero il cui cubo termina con 1 dovremo cercare nei numeri di 1 cifra
Quello il cui cubo termina con 22, se esiste, sarà un numero di 2 cifre e se non c'è tra in numeri di 2 cifre allora non esiste
A questo punto non ci resta che testare i numeri fino a 999.999.999 (si fa per dire)
Ecco i risultati parziali:
Ed ecco i risultati finali (e chi se l'aspettava?)
le ultime n cifre del cubo di m sono uguali alla ultime n cifre del cubo delle ultime n cifre di m
Ad esempio
2^3=8
42^3=74088
342^3=40001688
1342^3=2416893688
Infatti
$m^3=(a\cdot 10^n+b)^3=a^3\cdot 10^{3n}+3a^2 \cdot b \cdot 10^{2n}+a \cdot b^2 \cdot 10^n+b^3$
Quindi se cerchiamo il più piccolo numero il cui cubo termina con 1 dovremo cercare nei numeri di 1 cifra
Quello il cui cubo termina con 22, se esiste, sarà un numero di 2 cifre e se non c'è tra in numeri di 2 cifre allora non esiste
A questo punto non ci resta che testare i numeri fino a 999.999.999 (si fa per dire)
Ecco i risultati parziali:
Codice: Seleziona tutto
n m m^3
1 1 1
3 477 108531333
7 9660753 901639512372747777777
8 11576942 1551606436464188888888
Codice: Seleziona tutto
9 999999999 999999997000000002999999999
Ultima modifica di Quelo il mar feb 08, 2022 5:02 pm, modificato 1 volta in totale.
[Sergio] / $17$
Re: Ripetizioni finali
Mi sembra perfetto ...
Perchè non lo metti in francese e spedisci la soluzione agli amici transalpini?
Perchè non lo metti in francese e spedisci la soluzione agli amici transalpini?
Franco
ENGINEER
noun. (en-juh-neer)
someone who does precision guesswork based on unreliable data provided by those of questionable knowledge.
See also wizard, magician
ENGINEER
noun. (en-juh-neer)
someone who does precision guesswork based on unreliable data provided by those of questionable knowledge.
See also wizard, magician
-
- Supervisore del sito
- Messaggi: 1723
- Iscritto il: ven mag 20, 2005 9:51 pm
- Località: Sestri Levante
- Contatta:
Re: Ripetizioni finali
Visto il risultato del 9 mi sono reso conto che ci si poteva arrivare, infatti:
finale 9, quadrato finale 1, cubo finale 9
finale 99, quadrato finale 01, cubo finale 99
finale 999, quadrato finale 001, cubo finale 999
...
$(10^n-1)^3=10^{3n}-3 \cdot 10^{2n} + 3 \cdot 10^n - 1$
1 è banale
2 non esiste, come ha dimostrato Gianfranco
3 ci si arriva abbastanza facilmente
Bisogna dimostrare che non esistono 4,5,6 e come si arriva a 7 e 8
finale 9, quadrato finale 1, cubo finale 9
finale 99, quadrato finale 01, cubo finale 99
finale 999, quadrato finale 001, cubo finale 999
...
$(10^n-1)^3=10^{3n}-3 \cdot 10^{2n} + 3 \cdot 10^n - 1$
1 è banale
2 non esiste, come ha dimostrato Gianfranco
3 ci si arriva abbastanza facilmente
Bisogna dimostrare che non esistono 4,5,6 e come si arriva a 7 e 8
[Sergio] / $17$
Re: Ripetizioni finali
Penso infatti che gli amici transalpini si aspettino un procedimento abbordabile con carta e penna, senza software
Non ho ancora avuto il tempo di cercarlo.
Ma quando oggi pomeriggio ho visto questo problema, ho escluso alcuni casi semplicemente così (certi fatti sono noti o comunque tracciabili a mano):
22: passando i cubi a modulo 4, si ottengono i resti 0, 1 e 3, mentre 22 mod 4 dà 2;
4444: passando i cubi a modulo 8, si ottengono i resti 0, 1, 3, 5 e 7, mentre 44 mod 8 dà 4;
666666: con 66 mod 8 si ottiene 2 e non 0, 1, 3, 5 oppure 7;
̶5̶5̶5̶5̶5̶:̶ ̶p̶a̶s̶s̶a̶n̶d̶o̶ ̶i̶ ̶c̶u̶b̶i̶ ̶a̶ ̶m̶o̶d̶u̶l̶o̶ ̶9̶,̶ ̶s̶i̶ ̶o̶t̶t̶e̶n̶g̶o̶n̶o̶ ̶i̶ ̶r̶e̶s̶t̶i̶ ̶0̶,̶ ̶1̶ ̶e̶ ̶8̶,̶ ̶m̶e̶n̶t̶r̶e̶ ̶5̶5̶5̶5̶5̶ ̶m̶o̶d̶ ̶9̶ ̶d̶à̶ ̶7̶.̶
Non ho ancora avuto il tempo di cercarlo.
Ma quando oggi pomeriggio ho visto questo problema, ho escluso alcuni casi semplicemente così (certi fatti sono noti o comunque tracciabili a mano):
22: passando i cubi a modulo 4, si ottengono i resti 0, 1 e 3, mentre 22 mod 4 dà 2;
4444: passando i cubi a modulo 8, si ottengono i resti 0, 1, 3, 5 e 7, mentre 44 mod 8 dà 4;
666666: con 66 mod 8 si ottiene 2 e non 0, 1, 3, 5 oppure 7;
̶5̶5̶5̶5̶5̶:̶ ̶p̶a̶s̶s̶a̶n̶d̶o̶ ̶i̶ ̶c̶u̶b̶i̶ ̶a̶ ̶m̶o̶d̶u̶l̶o̶ ̶9̶,̶ ̶s̶i̶ ̶o̶t̶t̶e̶n̶g̶o̶n̶o̶ ̶i̶ ̶r̶e̶s̶t̶i̶ ̶0̶,̶ ̶1̶ ̶e̶ ̶8̶,̶ ̶m̶e̶n̶t̶r̶e̶ ̶5̶5̶5̶5̶5̶ ̶m̶o̶d̶ ̶9̶ ̶d̶à̶ ̶7̶.̶
(Bruno)
...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
-
- Supervisore del sito
- Messaggi: 1723
- Iscritto il: ven mag 20, 2005 9:51 pm
- Località: Sestri Levante
- Contatta:
Re: Ripetizioni finali
@Bruno grazie per i moduli, ok 2, 4 e 6
$100x+22 \equiv 2 \pmod{4}$
$1000x+444 \equiv 4 \pmod{8}$
$1000x+666 \equiv 4 \pmod{8}$
Non possono essere cubi
Non ho capito il 5 per cui ragiono in altro modo
Solo i numeri che terminano per 5 danno cubi che teminano per 5, i quali però terminano per 25 o 75, quindi non può esistere un cubo che termina per 55
$(10x+5)^3=1000x^3+1500x^2+750x+125$
Veniamo al 7
Per avere finale 7 sul cubo, il numero deve terminare con il 3
$(10x+3)^3=1000x^3+900x^2+270x+27$
$70x+27$ deve terminare con $77$, quindi $7x+2=10y+7$ e $x$ vale $5$
$(100x+53)^3=1000000x^3+1590000x^2+842\underline{7}00x+148\underline{8}77$
$7x+8=10y+7$, quindi $x$ vale $7$
$7x$ più la quartultima cifra di $753^3$ deve terminare per $7$
$7x+7=10y+7$ quindi $x$ vale $0$
reiterando il processo si arriva a $9660753$ il cui cubo termina con $7$ volte $7$
Lo stesso procedimento funziona anche per l'8 ma con qualche accorgimento
Il finale di partenza è 2 e la cifra che moltiplica x è ancora il 2, questo significa che x può sempre assumere 2 valori (1 con 6, 2 con 7, ecc...)
Al momento non ho individuato il criterio di scelta
$100x+22 \equiv 2 \pmod{4}$
$1000x+444 \equiv 4 \pmod{8}$
$1000x+666 \equiv 4 \pmod{8}$
Non possono essere cubi
Non ho capito il 5 per cui ragiono in altro modo
Solo i numeri che terminano per 5 danno cubi che teminano per 5, i quali però terminano per 25 o 75, quindi non può esistere un cubo che termina per 55
$(10x+5)^3=1000x^3+1500x^2+750x+125$
Veniamo al 7
Per avere finale 7 sul cubo, il numero deve terminare con il 3
$(10x+3)^3=1000x^3+900x^2+270x+27$
$70x+27$ deve terminare con $77$, quindi $7x+2=10y+7$ e $x$ vale $5$
$(100x+53)^3=1000000x^3+1590000x^2+842\underline{7}00x+148\underline{8}77$
$7x+8=10y+7$, quindi $x$ vale $7$
$7x$ più la quartultima cifra di $753^3$ deve terminare per $7$
$7x+7=10y+7$ quindi $x$ vale $0$
reiterando il processo si arriva a $9660753$ il cui cubo termina con $7$ volte $7$
Lo stesso procedimento funziona anche per l'8 ma con qualche accorgimento
Il finale di partenza è 2 e la cifra che moltiplica x è ancora il 2, questo significa che x può sempre assumere 2 valori (1 con 6, 2 con 7, ecc...)
Al momento non ho individuato il criterio di scelta
[Sergio] / $17$
Re: Ripetizioni finali
Nemmeno io l'ho capito è una pura idiozia!
(Bruno)
...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
Re: Ripetizioni finali
Non sembra esserci un criterio univoco che garantisca di aggiungere sempre un 8 (come invece abbiamo fatto per il 7)Quelo ha scritto: ↑mar feb 08, 2022 8:49 pmLo stesso procedimento funziona anche per l'8 ma con qualche accorgimento
Il finale di partenza è 2 e la cifra che moltiplica x è ancora il 2, questo significa che x può sempre assumere 2 valori (1 con 6, 2 con 7, ecc...)
Al momento non ho individuato il criterio di scelta
Si procede esplorando le due possibilità finché una delle strade non si interrompe (cifra da sommare dispari)
Per esempio il numero 11576942, che pure è la soluzione cercata, non consente di andare oltre, per aggiungere un 8 dovremo usare 36576942 o 86576942
Codice: Seleziona tutto
2 8
42 74088
92 778688
442 86350888
942 835896888
192 7077888 stop
692 331373888 stop
4442 87646718888 stop
9442 841767178888 stop
1942 7323988888 stop
6942 334544448888
51942 140138028588888 stop
26942 19556426288888
76942 455502130888888
326942 34947180653888888 stop
826942 565490287699888888 stop
576942 192042109176888888
1576942 3921454323268888888
6576942 284493295393728888888
11576942 1551606436464188888888 stop
61576942 233482509347168788888888 stop
36576942 48935291641816488888888
86576942 648943259552521088888888
[Sergio] / $17$
Re: Ripetizioni finali
In effetti questo problema ha nella classificazione 4 stelle (su 5) e l'icona della calcolatrice. Non quella del computer
Le 4 stelle sono dovute anche al fatto che, oltre a quella postata, c'era un'ulteriore domanda:
Recenser les chiffres x , 1≤ x ≤ 9, tels que pour tout entier k quelconque fixé à l’avance, on sait trouver un entier N dont le cube se termine par k fois le chiffre x. Justifier la réponse.
Provo a tradurla:
Elencare le cifre $x$ , $1≤ x ≤ 9$, tali per cui per qalsiasi intero $k$ scelto in anticipo, si sappia trovare un intero $N$ il cui cubo termina con $k$ volte la cifra $x$. Giustificare la risposta.
Mi sembra che Sergio sia già sulla strada
Franco
ENGINEER
noun. (en-juh-neer)
someone who does precision guesswork based on unreliable data provided by those of questionable knowledge.
See also wizard, magician
ENGINEER
noun. (en-juh-neer)
someone who does precision guesswork based on unreliable data provided by those of questionable knowledge.
See also wizard, magician
Re: Ripetizioni finali
Caso 55555, senza congruenze e senza conoscere le possibili due cifre finali (non nulle) di un cubo.
Se avessimo un cubo terminante con 55:
n³ = 100·α+55,
avremmo anche, moltiplicando i due membri per 8:
(2·n)³ = 800·α+440 = 100·β+40,
vale a dire un cubo terminante con un solo zero e non almeno tre
Il metodo è applicabile anche alle terminazioni 22 [moltiplicando per 125: (5·n)³ = 100·β+50], 66 [(5·n)³ = 100·β+50] e 444 [(5·n)³ = 1000·β+500].
Se avessimo un cubo terminante con 55:
n³ = 100·α+55,
avremmo anche, moltiplicando i due membri per 8:
(2·n)³ = 800·α+440 = 100·β+40,
vale a dire un cubo terminante con un solo zero e non almeno tre
Il metodo è applicabile anche alle terminazioni 22 [moltiplicando per 125: (5·n)³ = 100·β+50], 66 [(5·n)³ = 100·β+50] e 444 [(5·n)³ = 1000·β+500].
(Bruno)
...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
Re: Ripetizioni finali
En passant... sfrutto il fatto che 8 è un cubo.
Con il criterio già illustrato da Sergio, ottengo la sequenza che segue (per miglior chiarezza, lascio all'inizio alcuni superflui passaggi intermedi, ulteriormente semplificabili):
1 {1 uno}
(10·x+1)³ = 10³·x³ + 3·10²·1·x² + 3·10·1²·x + 1³
(1³-11)/10 = -1
→ 3·1²·x - 1 ≡ 0 (mod 10)
→ 3·x - 1 ≡ 0 (mod 10) → x = 7
71 {2 uno}
(100·x+71)³ = 100³·x³ + 3·100²·71·x² + 3·100·71²·x + 71³
(71³-111)/100 = 3578
→ 3·71²·x + 3578 ≡ 0 (mod 10)
→ 3·x + 8 ≡ 0 (mod 10) → x = 4
471 {3 uno}
(471³-1111)/1000 = 104486
→ 3·x + 6 ≡ 0 (mod 10) → x = 8
8471 {4}
(8471³-11111)/10000 = 60786066
→ 3·x + 6 ≡ 0 (mod 10) → x = 8
88471 {5}
(88471³-111111)/10⁵ mod 10 = 4
→ 3·x + 4 ≡ 0 (mod 10) → x = 2
288471 {6}
(288471³-1111111)/10⁶ mod 10 = 6
→ 3·x + 6 ≡ 0 (mod 10) → x = 8
8288471 {7}
(8288471³-11111111)/10⁷ mod 10 = 2
→ 3·x + 2 ≡ 0 (mod 10) → x = 6
68288471 {8},
368288471 {9},
7368288471 {10},
37368288471 {11},
637368288471 {12},
6637368288471 {13},
16637368288471 {14}, ...
Pertanto, il doppio di ciascuno di questi termini costituisce la base di un cubo che termina con un numero di 8 uguale a quello indicato nelle parentesi graffe.
Così dovremmo avere quel criterio univoco che garantisce di aggiungere sempre un 8, su cui si interrogava Sergio.
Non sono riuscito a trovare una forma chiusa per tali numeri, però mi sembrano interessanti.
(Bruno)
...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
Re: Ripetizioni finali
Bravo Bruno, ottima intuizione
Sospettavo che ci fosse qualcosa da dimezzare, avendo 2 scelte
Questo si può fare con il finale 8, così il moltiplicatore di x passa da 2 a 3 e la scelta diventa univoca
Per rispondere alla domanda aggiuntiva:
Il moltiplicatore di x per il finale f è l'ultima cifra di 3f²
m = [3, 2, 7, 8, 5, 8, 7, 2, 3]
Quando m vale 3 o 7 (finali 1, 3, 7, 9), i multipli di m da 0 a 9 terminano con tutte le cifre a 0 a 9, quindi è sempre possibile aggiungere la cifra che incrementa di 1 le cifre f finali
Caso particolare per il finale 8 con l'accorgimento proposto da Bruno
Sospettavo che ci fosse qualcosa da dimezzare, avendo 2 scelte
Questo si può fare con il finale 8, così il moltiplicatore di x passa da 2 a 3 e la scelta diventa univoca
Per rispondere alla domanda aggiuntiva:
Il moltiplicatore di x per il finale f è l'ultima cifra di 3f²
m = [3, 2, 7, 8, 5, 8, 7, 2, 3]
Quando m vale 3 o 7 (finali 1, 3, 7, 9), i multipli di m da 0 a 9 terminano con tutte le cifre a 0 a 9, quindi è sempre possibile aggiungere la cifra che incrementa di 1 le cifre f finali
Caso particolare per il finale 8 con l'accorgimento proposto da Bruno
Codice: Seleziona tutto
finale 1
1 { 1 }
71 { 2 }
471 { 3 }
8471 { 4 }
88471 { 5 }
288471 { 6 }
8288471 { 7 }
68288471 { 8 }
368288471 { 9 }
7368288471 { 10 }
37368288471 { 11 }
637368288471 { 12 }
6637368288471 { 13 }
16637368288471 { 14 }
716637368288471 { 15 }
8716637368288471 { 16 }
58716637368288471 { 17 }
858716637368288471 { 18 }
9858716637368288471 { 19 }
79858716637368288471 { 20 }
finale 2
8 { 1 }
finale 3
7 { 1 }
77 { 2 }
477 { 3 }
6477 { 4 }
46477 { 5 }
446477 { 6 }
5446477 { 7 }
85446477 { 8 }
385446477 { 9 }
4385446477 { 10 }
44385446477 { 11 }
644385446477 { 12 }
8644385446477 { 13 }
38644385446477 { 14 }
138644385446477 { 15 }
5138644385446477 { 16 }
15138644385446477 { 17 }
15138644385446477 { 18 }
5015138644385446477 { 19 }
15015138644385446477 { 20 }
finale 4
4 { 1 }
14 { 2 }
finale 5
5 { 1 }
finale 6
6 { 1 }
finale 7
3 { 1 }
53 { 2 }
753 { 3 }
753 { 4 }
60753 { 5 }
660753 { 6 }
9660753 { 7 }
99660753 { 8 }
899660753 { 9 }
3899660753 { 10 }
33899660753 { 11 }
233899660753 { 12 }
7233899660753 { 13 }
97233899660753 { 14 }
497233899660753 { 15 }
1497233899660753 { 16 }
31497233899660753 { 17 }
631497233899660753 { 18 }
9631497233899660753 { 19 }
59631497233899660753 { 20 }
finale 8
2 { 1 }
142 { 2 }
942 { 3 }
16942 { 4 }
176942 { 5 }
576942 { 6 }
16576942 { 7 }
136576942 { 8 }
736576942 { 9 }
14736576942 { 10 }
74736576942 { 11 }
1274736576942 { 12 }
13274736576942 { 13 }
33274736576942 { 14 }
1433274736576942 { 15 }
17433274736576942 { 16 }
117433274736576942 { 17 }
1717433274736576942 { 18 }
19717433274736576942 { 19 }
159717433274736576942 { 20 }
finale 9
9 { 1 }
99 { 2 }
999 { 3 }
9999 { 4 }
99999 { 5 }
999999 { 6 }
9999999 { 7 }
99999999 { 8 }
999999999 { 9 }
9999999999 { 10 }
99999999999 { 11 }
999999999999 { 12 }
9999999999999 { 13 }
99999999999999 { 14 }
999999999999999 { 15 }
9999999999999999 { 16 }
99999999999999999 { 17 }
999999999999999999 { 18 }
9999999999999999999 { 19 }
99999999999999999999 { 20 }
[Sergio] / $17$