Bi-empimenti bi-simmetrici

[giobimbo]

Abbiamo delle tabelle nxn, con n dispari, di cui teniamo vuote le caselle della diagonale principale, mentre nelle altre mettiamo numeri, lettere o colori, a piacimento.
In ogni riga e ogni colonna della tabella si devono avere 2 numeri (o, a scelta, 2 lettere o 2 colori) uguali. Tutto questo rispettando due condizioni:

1) la tabella dev’essere simmetrica rispetto alle sue due diagonali
2) unendo con linee verticali e orizzontali tutte le coppie di elementi uguali si deve ottenere una linea chiusa formata da 2n tratti rettilinei.

Qui sotto un esempio con tabella 7x7; coi colori si vede bene come funziona ma all’aumentare di n probabilmente andrà peggio. Nell’ultima tabella un esempio della poligonale che collega le caselle gialle:

BIEMP.png (17.51 KiB) Visto 10768 volte

Trovare un altro esempio con tabella 7x7 e uno con tabella 9x9 (basta scegliere uno dei tre modi e non occorre disegnare le poligonali).

[franco]

Se ho capito bene e seguendo la logica del tuo schema mi sembra ci siano queste soluzioni 9x9 e 11x11:

22020702.PNG (11.81 KiB) Visto 10749 volte

In generale, facendo una prima riga simmetrica e poi traslandola sulle successive, lo schema dovrebbe funzionare per tutte le tabelle n*n (con n dispari).

[Bruno]

Allora, direi anche così:

B5 - Bi_empimenti.jpg (38.27 KiB) Visto 10748 volte

[franco]

Allora, direi anche così:

Queste però sono simmetriche rispetto a una sola diagonale ...

[Bruno]

Hai ragione, non ho tenuto presente il primo punto.

[giobimbo]

Guarderò più tardi con calma le soluzioni della 11x11 (ma era facile quindi penso sia giusta), però la lettera C nella tabella di Franco fornisce una poligonale di soli 6 segmenti invece di 2x9=18 come richiesto.

[franco]

Guarderò più tardi con calma le soluzioni della 11x11 (ma era facile quindi penso sia giusta), però la lettera C nella tabella di Franco fornisce una poligonale di soli 6 segmenti invece di 2x9=18 come richiesto.

Hai ragione. Sulla lettera C non c'è una poligonale unica che collega tutte le caselle ma 3 "anelli" da 6 segmenti ciascuno

[giobimbo]

Come immaginavo il riempimento della tabella 11x11 fatto da Franco è corretto, ma era facile se si ragionava sull'esempio 7x7, per questo non l'ho richiesto. A questo punto sono ancora da trovare le soluzioni per tabelle 7x7 e 9x9 e, visto che degli audaci han provato con n più grande, chiederei anche una 11x11 che non sia isomorfa a quella che è già stata trovata.

[Bruno]

Pur non figurandomi fra gli audaci e dopo il superficiale travisamento di stamattina, allego la mia soluzione per la matrice 9x9, così come l'ho elaborata (è una tabella di costruzione - senza colori, né poligonali), cambiando la prospettiva messa in evidenza da Franco.
Mi colpisce e mi attrae che in questa configurazione non vi siano diagonali monolettera, ovviamente a parte quelle angolari a due celle.

Spero che vada bene e che superi il tuo vaglio, Giobimbo

B5 - Giobimbo 9X9.jpg (19.62 KiB) Visto 10726 volte

[franco]

... sono ancora da trovare le soluzioni per tabelle 7x7 ...

Può andare questo?

22020703.PNG (3.48 KiB) Visto 10713 volte

[franco]

o anche questo:

22020704.PNG (3.52 KiB) Visto 10711 volte

[giobimbo]

Stavolta non ci sono sbagli o travisamenti, bravi.
@Bruno: non ci sono

diagonali monolettera

da 9 caselle perché n=9 non è primo.

[Bruno]

Direi di sì.

[Gianfranco]

Grazie Giobimbo per questo problema.
Non ho postato risposte perché siete molto più bravi e veloci di me.
Però mi sono divertito un sacco a fare prove come queste con le vostre soluzioni. Carta e penna virtuali.

Giobimbo.png (35.53 KiB) Visto 10674 volte

[giobimbo]

Sembrerà strano ma questo problema mi è stato ispirato dalle scolarette di Kirkman…
Quando ancora Base5 non era su Quipo qualcuno aveva chiesto come organizzare un torneo di calcio con 6 squadre e io avevo l’avevo spiegato con un esempio. Così sono andato a vedere nel quaderno (non ho niente di registrato del vecchio forum, purtroppo) come avevo fatto, usando quel sistema per lavorare sul problema di Quelo/Kirkman. Provando e pasticciando è nata l’idea. Ne sono uscite molte belle figure colorate tra le quali aggiungo qui le mie soluzioni:

Soluzioni.png (4.32 KiB) Visto 10665 volte