Somma della somma della somma...

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Moderatori: Gianfranco, Bruno

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Gianfranco
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Somma della somma della somma...

Messaggio da Gianfranco »

Avevo postato queste due domande ricorsive a un gruppo semiserio perché mi sembravano semplici, ma poi mi è venuto un dubbio.

Domanda 1 (a mente)
Qual è la somma delle cifre
della somma delle cifre
della somma delle cifre
di $2022^{2022}$?

Domanda 2 (con calcolatrice a 10 cifre)
Qual è la somma delle cifre
della somma delle cifre
della somma delle cifre
di $2023^{2023}$?


Dopo quante iterazioni somma(della somma(della somma(...))) delle cifre di $2023^{2023}$ arriviamo a un risultato di una cifra?
Pensavo, a occhio, che 3 iterazioni bastassero ma mi è venuto un dubbio.
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

Bruno
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Re: Somma della somma della somma...

Messaggio da Bruno »

Domanda 1 (non tutto a mente, con l'incipit di MAGMA):
. prima somma: 30258;
. seconda somma: 18;
. terza somma: 9.

Domanda 2 (con l'incipit di MAGMA):
. prima somma: 30112;
. seconda somma: 7.

Codice: Seleziona tutto

&+Intseq( 2023^2023 );

Nel 2024 ci sarà un giro in più, ma direi che non dovremmo andare oltre i quattro passaggi nei secoli venturi...
(Bruno)

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Pasquale
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Re: Somma della somma della somma...

Messaggio da Pasquale »

Da un punto di vista intuitivo, ma da approfondire e sviluppare e che al momento non saprei giustificare, qualcosa mi dice che debba entrarci di mezzo un calcolo col modulo 9 :?:
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\text {   }ciao Immagine ciao
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Bruno
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Re: Somma della somma della somma...

Messaggio da Bruno »

Certamente, Pasquale, se non dobbiamo trovare le varie somme e ci limitiamo quindi a calcolare la radice digitale, riducendo la potenza trattata a mod 9.

Poiché (faccio qualche passaggio ovvio):

$2022^{2022} \equiv 6^{9\cdot 224}\cdot 6^6 \equiv 0\cdot 0 = 0 \pmod {9}$,

la singola cifra risultante è 9.

Riguardo a 2023, invece:

$2023^{2023} \equiv 7^{9\cdot 224}\cdot 7^7 \equiv 1\cdot 7 = 7 \pmod {9}$.
(Bruno)

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Gianfranco
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Re: Somma della somma della somma...

Messaggio da Gianfranco »

Pasquale ha scritto:
ven feb 04, 2022 3:38 pm
Da un punto di vista intuitivo, ma da approfondire e sviluppare e che al momento non saprei giustificare, qualcosa mi dice che debba entrarci di mezzo un calcolo col modulo 9 :?:
Pasquale, esatto.
Poiché 2022 è multiplo di 3, le sue potenze maggiori di 2 sono multiple di 9, quindi la somma della somma etc. deve essere 9 (oppure 9k).
Nel caso di 2023, usando un po' di aritmetica modulare, si deduce che la somma della somma etc. deve essere 7. (oppure 9k+7)

La parte più difficile è capire quanti passaggi si devono fare affinché la somma sia di una cifra.
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

Gianfranco
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Re: Somma della somma della somma...

Messaggio da Gianfranco »

Bruno ha scritto:
ven feb 04, 2022 4:37 pm
Certamente, Pasquale, se non dobbiamo trovare le varie somme e ci limitiamo quindi a calcolare la radice digitale, riducendo la potenza trattata a mod 9.

Poiché (faccio qualche passaggio ovvio):

$2022^{2022} \equiv 6^{9\cdot 224}\cdot 6^6 \equiv 0\cdot 0 = 0 \pmod {9}$,

la singola cifra risultante è 9.

Riguardo a 2023, invece:

$2023^{2023} \equiv 7^{9\cdot 224}\cdot 7^7 \equiv 1\cdot 7 = 7 \pmod {9}$.
Bella la funzione di Magma per calcolare la somma delle cifre!
Però vorrei stimare a mente (o quasi) se tre passaggi sono sufficienti per ottenere il risultato da una cifra.
Io avevo pensato di maggiorare grossolanamente la situazione usando il logaritmo in base 10 per calcolare quante cifre ha un numero intero.
Per esempio, il numero di cifre di $2022^{2022}$ è:
$(2022\cdot \log 2022+1)<2022 \cdot 5+1<12000$
La somma delle cifre, al massimo è $12000\cdot 9 = 108000$
La somma della somma, al massimo è $9\cdot 6 = 54$ e può assummere solo valori multipli di 9, cioè 54, 45, 36, 27, 18, 9
La somma della somma della somma della somma quindi è sicuramente di 1 cifra ed è 9.

Spero di essermi spiegato.

Per il caso del 2023, bisogna fare qualche ragionamento in più perché la somma può assumere valori del tipo 9k+7.
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

Quelo
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Re: Somma della somma della somma...

Messaggio da Quelo »

$2023^{2023}$ ha $6689$ cifre
Ipotizzando ragionevolmente una distribuzione uniforme delle cifre, la somma delle stesse deve essere molto vicina a $6689 \cdot 4,\!5 = 30100$
La somma delle cifre di questo numero può essere al massimo 38 (considerando il caso peggiore, cioè 29999)
Nella forma 9k+7 abbiamo 4 possibilità 7 / 16 / 25 / 34
Quindi per la radice numerica sono al massimo 3 passaggi

E così per gli anni a venire, perché le potenze saranno sempre intorno alle 7000 cifre

EDIT:
tranne nel caso in cui la somma del numero di 2 cifre sia maggiore di 10, come ad esempio per il 2024, in questo caso sono 4 passaggi
[Sergio] / $17$

Gianfranco
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Re: Somma della somma della somma...

Messaggio da Gianfranco »

Grazie Quelo, Bruno, Pasquale!

Eh, già, siccome
$2024 \mod 9 = -1$
allora
$2024^{2n} \mod 9 = 1$
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

Bruno
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Re: Somma della somma della somma...

Messaggio da Bruno »

Quelo ha scritto:
sab feb 05, 2022 12:02 pm
E così per gli anni a venire, perché le potenze saranno sempre intorno alle 7000 cifre

Stimolato dalle stime di Sergio, ho visto che nel 5861 (buona vita a tutti!) la somma delle cifre di 5861⁵⁸⁶¹ sarà 99698 e il loro numero sarà 22085 :wink:
(Bruno)

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