Una congruenza.

Il forum di Base5, dove è possibile postare problemi, quiz, indovinelli, rompicapo, enigmi e quant'altro riguardi la matematica ricreativa e oltre.

Moderatori: Gianfranco, Bruno

Rispondi
Bruno
Livello 10
Livello 10
Messaggi: 1899
Iscritto il: lun nov 21, 2005 6:07 pm
Località: Bologna

Una congruenza.

Messaggio da Bruno »

Dimostrare che

$7485711^{2\cdot n} \equiv 1 \pmod {6409\cdot 2^5}$

è vera per qualunque naturale $\,n$.
(Bruno)

...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}

Gianfranco
Supervisore del sito
Supervisore del sito
Messaggi: 1459
Iscritto il: ven mag 20, 2005 9:51 pm
Località: Sestri Levante
Contatta:

Re: Una congruenza.

Messaggio da Gianfranco »

Visto che:
$7485711^{2} \equiv 1 \pmod {6409\cdot 2^5}$

si ricava che:
$(7485711^{2})^{n} \equiv 1^n \pmod {6409\cdot 2^5}$

quindi:
$7485711^{2n} \equiv 1 \pmod {6409\cdot 2^5}$

Resta da dimostrare che:
$7485711^{2} \equiv 1 \pmod {6409\cdot 2^5}$

1) Calcolo a mano:
$7485711 \equiv {-1} \pmod {6409}$

2) Elevo al quadrato:
$7485711^2 \equiv {1} \pmod {6409}$

Ora bisogna dimostrare che si può moltiplicare impunemente il modulo per 32.
Però vado a mangiare.
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

Quelo
Livello 7
Livello 7
Messaggi: 716
Iscritto il: ven giu 16, 2006 3:34 pm

Re: Una congruenza.

Messaggio da Quelo »

$7485711^2-1 \equiv 0 \pmod{6409 \cdot 2^5}$

$7485711^2-1=(7485711-1)(7485711+1)=7485710 \cdot 7485712$

$7485710=2 \cdot 3742855$
$7485712=2^4 \cdot 6409 \cdot 73$

$7485711^2-1=2^5 \cdot 6409 \cdot 73 \cdot 3742855$
[Sergio] / $17$

Gianfranco
Supervisore del sito
Supervisore del sito
Messaggi: 1459
Iscritto il: ven mag 20, 2005 9:51 pm
Località: Sestri Levante
Contatta:

Re: Una congruenza.

Messaggio da Gianfranco »

OK Quelo, perfetto.

Ci sono arrivato anch'io, dopo mangiato, ma ho dovuto aggiungere alle ipotesi una buona dose di "malizia bonaria" di Bruno.
Vuoi mettere che Bruno ha nascosto quel 32 da qualche parte?

Allora ho pensato alla definizione di congruenza modulo n.

$7485711^{2} \equiv 1 \pmod {6409\cdot 2^5}$ se e solo se $7485711^{2} - 1 = 6409\cdot 2^5 \cdot k$

Da cui il prodotto notevole:
$(7485711 + 1)\cdot(7485711 - 1) = 6409\cdot 2^5 \cdot k$

da cui scende il ragionamento di Quelo.
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

Bruno
Livello 10
Livello 10
Messaggi: 1899
Iscritto il: lun nov 21, 2005 6:07 pm
Località: Bologna

Re: Una congruenza.

Messaggio da Bruno »

Molto bene :D

Un'immediatissima generalizzazione che produce casi simili, infatti, può essere $\; (r\cdot 2^{\alpha}\cdot k-1)^{2\cdot n} \equiv 1 \pmod {r\cdot 2^{\alpha+1}}$ .
(Bruno)

...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}

Bruno
Livello 10
Livello 10
Messaggi: 1899
Iscritto il: lun nov 21, 2005 6:07 pm
Località: Bologna

Re: Una congruenza.

Messaggio da Bruno »

Gianfranco ha scritto:
mar feb 01, 2022 10:32 pm
... ho dovuto aggiungere alle ipotesi una buona dose di "malizia bonaria" di Bruno.
Vuoi mettere che Bruno ha nascosto quel 32 da qualche parte?

L'idea della generalizzazione di questo semplice quiz, Gianfranco, l'ho avuta argomentando in un tuo post sociale l'individuazione delle due cifre terminali di 7⁴ⁿ ;)
(Bruno)

...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}

Rispondi