1) Qual è l'ultima cifra di $\large 7^{888}$?
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2) Quali numeri hanno un numero dispari di divisori?
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Tratte da Paul Erdos e Janos Suranyi, Topics in the Theory of Numbers, 2003 (la prima edizione è del 1959, in lingua ungherese).
Due domandine di Paul Erdos
Moderatori: Gianfranco, Bruno
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Due domandine di Paul Erdos
Pace e bene a tutti.
Gianfranco
Gianfranco
Re: Due domandine di Paul Erdos
La prima è abbastanza semplice, considerando che 888 è multiplo di 4
Per la seconda direi i quadrati perfetti. La formula per calcolare il numero di divisori prevede il prodotto degli esponenti dei fattori primi aumentati di 1, quindi gli esponenti devono essere tutti pari.
Per la seconda direi i quadrati perfetti. La formula per calcolare il numero di divisori prevede il prodotto degli esponenti dei fattori primi aumentati di 1, quindi gli esponenti devono essere tutti pari.
[Sergio] / $17$
Re: Due domandine di Paul Erdos
$7^{888}$ ha i divisori $7^0\;7^1\;7^2\;\ldots\;7^{887}\;7^{888}$ che sono $889$, dispari; $5^{888}$ ha i divisori $5^0\;5^1\;5^2\;\ldots\;5^{887}\;5^{888}$ che sono $889$, dispari anche loro.
I divisori di $35^{888}$ sono dati dal prodotto di ciascun divisore di $7^{888}$ per ciascun divisore di $5^{888}$: un numero dispari di divisori moltiplicato per un numero dispari di divisori produce un numero dispari di divisori.
Tutte le potenze pari dei numeri naturali hanno un numero dispari di fattori
Ma cosa succede se un fattore primo di $n$ è presente con esponente dispari nella scomposizione in fattori primi?
Prendiamo ad esempio $\left(2^3\right)^2$; i divisori di $8$ sono $4$: $1\;2\;4\;8$. Riportiamo in una tabella $4\times 4$ in ciascuna rigo il prodotto di ogni divisore con i divisori stessi
$\begin{array}{cC}
1 & 2 & 4 & 8 \\
2 & 4 & 8 & 16 \\
4 & 8 & 16 & 32 \\
8 & 16 & 32 & 64
\end{array}$
e osserviamo che lungo le diagonali i fattori ottenuti sono tutti uguali: ci sono tanti divisori quante sono le diagonali
$\\$
$\\$
e, come si vede, il numero una griglia quadrata ha un numero dispari di diagonali.
I divisori di $35^{888}$ sono dati dal prodotto di ciascun divisore di $7^{888}$ per ciascun divisore di $5^{888}$: un numero dispari di divisori moltiplicato per un numero dispari di divisori produce un numero dispari di divisori.
Tutte le potenze pari dei numeri naturali hanno un numero dispari di fattori
Ma cosa succede se un fattore primo di $n$ è presente con esponente dispari nella scomposizione in fattori primi?
Prendiamo ad esempio $\left(2^3\right)^2$; i divisori di $8$ sono $4$: $1\;2\;4\;8$. Riportiamo in una tabella $4\times 4$ in ciascuna rigo il prodotto di ogni divisore con i divisori stessi
$\begin{array}{cC}
1 & 2 & 4 & 8 \\
2 & 4 & 8 & 16 \\
4 & 8 & 16 & 32 \\
8 & 16 & 32 & 64
\end{array}$
e osserviamo che lungo le diagonali i fattori ottenuti sono tutti uguali: ci sono tanti divisori quante sono le diagonali
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e, come si vede, il numero una griglia quadrata ha un numero dispari di diagonali.
il panurgo
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
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Re: Due domandine di Paul Erdos
Stesse considerazioni di Sergio.
(Bruno)
...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
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e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
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Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
Re: Due domandine di Paul Erdos
Un pochino meno immediato è considerare 7⁸⁹⁰ e individuarne le ultime due cifre (stesso set di esercizi proposto da Erdős e Surányi nel libro citato).
(Bruno)
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{Biagio Marin}
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Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
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Re: Due domandine di Paul Erdos
49
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$\text { }$ciao ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)
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Re: Due domandine di Paul Erdos
Le ultime due cifre delle potenze di 7 sono cicliche con periodo 4 (07, 49, 43, 01) e lo possiamo dimostrare così:
$(100x+7)7=700x+49=100(7x)+49$ finale 49
$(100x+49)7=700x+343=100(7x+3)+43$ finale 43
$(100x+43)7=700x+301=100(7x+3)+01$ finale 01
$(100x+1)7=700x+7=100(7x)+7$ finale 07
$(100x+7)7=700x+49=100(7x)+49$ finale 49
$(100x+49)7=700x+343=100(7x+3)+43$ finale 43
$(100x+43)7=700x+301=100(7x+3)+01$ finale 01
$(100x+1)7=700x+7=100(7x)+7$ finale 07
[Sergio] / $17$