Due domandine di Paul Erdos

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Moderatori: Gianfranco, Bruno

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Gianfranco
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Due domandine di Paul Erdos

Messaggio da Gianfranco »

1) Qual è l'ultima cifra di $\large 7^{888}$?
---
2) Quali numeri hanno un numero dispari di divisori?
---
Tratte da Paul Erdos e Janos Suranyi, Topics in the Theory of Numbers, 2003 (la prima edizione è del 1959, in lingua ungherese).
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

Quelo
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Re: Due domandine di Paul Erdos

Messaggio da Quelo »

La prima è abbastanza semplice, considerando che 888 è multiplo di 4
Per la seconda direi i quadrati perfetti. La formula per calcolare il numero di divisori prevede il prodotto degli esponenti dei fattori primi aumentati di 1, quindi gli esponenti devono essere tutti pari.
[Sergio] / $17$

panurgo
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Re: Due domandine di Paul Erdos

Messaggio da panurgo »

$7^{888}$ ha i divisori $7^0\;7^1\;7^2\;\ldots\;7^{887}\;7^{888}$ che sono $889$, dispari; $5^{888}$ ha i divisori $5^0\;5^1\;5^2\;\ldots\;5^{887}\;5^{888}$ che sono $889$, dispari anche loro.

I divisori di $35^{888}$ sono dati dal prodotto di ciascun divisore di $7^{888}$ per ciascun divisore di $5^{888}$: un numero dispari di divisori moltiplicato per un numero dispari di divisori produce un numero dispari di divisori.

Tutte le potenze pari dei numeri naturali hanno un numero dispari di fattori

Ma cosa succede se un fattore primo di $n$ è presente con esponente dispari nella scomposizione in fattori primi?

Prendiamo ad esempio $\left(2^3\right)^2$; i divisori di $8$ sono $4$: $1\;2\;4\;8$. Riportiamo in una tabella $4\times 4$ in ciascuna rigo il prodotto di ogni divisore con i divisori stessi

$\begin{array}{cC}
1 & 2 & 4 & 8 \\
2 & 4 & 8 & 16 \\
4 & 8 & 16 & 32 \\
8 & 16 & 32 & 64
\end{array}$

e osserviamo che lungo le diagonali i fattori ottenuti sono tutti uguali: ci sono tanti divisori quante sono le diagonali
$\\$
erdös.640x259.png
erdös.640x259.png (18.88 KiB) Visto 734 volte
$\\$
e, come si vede, il numero una griglia quadrata ha un numero dispari di diagonali.
il panurgo

Principio di Relatività: {\bb m} \not \right {\bb M} \ \Longleftrightarrow \ {\bb M} \not \right {\bb m}
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"

Bruno
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Re: Due domandine di Paul Erdos

Messaggio da Bruno »

Stesse considerazioni di Sergio.
(Bruno)

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Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
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e la bola iridessente gera 'ndagia.
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Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
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Bruno
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Re: Due domandine di Paul Erdos

Messaggio da Bruno »

Quelo ha scritto:
gio gen 27, 2022 8:55 am
La prima è abbastanza semplice, considerando che 888 è multiplo di 4

Un pochino meno immediato è considerare 7⁸⁹⁰ e individuarne le ultime due cifre (stesso set di esercizi proposto da Erdős e Surányi nel libro citato).
(Bruno)

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Pasquale
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Re: Due domandine di Paul Erdos

Messaggio da Pasquale »

49
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\text {   }ciao Immagine ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)

Quelo
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Re: Due domandine di Paul Erdos

Messaggio da Quelo »

Le ultime due cifre delle potenze di 7 sono cicliche con periodo 4 (07, 49, 43, 01) e lo possiamo dimostrare così:

$(100x+7)7=700x+49=100(7x)+49$ finale 49

$(100x+49)7=700x+343=100(7x+3)+43$ finale 43

$(100x+43)7=700x+301=100(7x+3)+01$ finale 01

$(100x+1)7=700x+7=100(7x)+7$ finale 07
[Sergio] / $17$

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