intrapresa da Pasquale: così, senza pretese.
Dico subito che non sono in possesso della
soluzione di questo problema, anche se ciò è
abbastanza inconsueto per me, visto che di
solito propongo questioni che ho già risolto.
Innanzitutto, una parentesi: la dimostrazione
di Pasquale postata in precedenza non era
affatto poco chiara, ma era senz'altro incompleta,
mancando tutta la parte evidenziata da Sancho,
la quale ritengo sia anche la più complessa.
questo però non è vero, purtroppo: ci sonoPasquale ha scritto:Scrivo allora la relazione nella forma:
$\frac{x^4-2^n}{x-2}=3$
si ottiene quoziente senza resto, per $x\neq 2$ e soltanto per n=4...
di certo altri (infiniti) casi in cui quel rapporto
è intero. Capire quando possa essere uguale
a 3, be'... questa è un'altra, meno semplice,
faccenda su cui ragionare!
Passo quindi a ristabilire questo fatto.
Abbiamo visto che $n$ dev'essere pari, poiché
altrimenti:
$x^4-2^n \not \equiv 0 \; \pmod 3$
essendo, per $(x, \/3)=1$:
$\forall x_{\in \mathbb{Z}},\/ x^4\equiv 1\; \pmod 3$
e
$\forall h_{\in \mathbb{N}},\/ 2^{2h+1}\equiv -1 \; \pmod 3$
da cui si deduce:
$x^4-2^{2h+1}\equiv 2\; \pmod 3\/\/.$
Per cui dobbiamo verificare l'equazione proposta
per potenze pari di 2, cioè per potenze di 4.
Concentriamoci adesso sulle potenze di tipo $4^{2n}$.
Vediamo che per $x\/\le\/ 2^n$, ossia $x^4\/\le\/ 4^{2n}$:
$x = 2+\frac{x^4-4^{2n}}{3} \le 2$.
Per $x\/\le\/ 2$ sappiamo già com'è $n$.
Al contrario, per $x\/>\/2^n$, verifichiamo che:
$2+\frac{(2^n+\alpha)^4-4^{2n}}{3}\/>\/\frac{(2^n+\alpha)^4-4^{2n}}{3}\/>\/2^n+\alpha$
con $\alpha$ intero e positivo.
Infatti, poiché:
$(2^n+\alpha)^4\/>\/2^{4n}+4\cdot 2^{3n}\cdot \alpha+4\cdot 2^n\cdot \alpha^3\/\ge\/ 4^{2n}+4\cdot 2^{3n}\cdot \alpha+4\cdot 2^n$
sostituendo nell'ultima disuguaglianza scritta,
troviamo un'altra disuguaglianza che, seppure
più svantaggiosa, è però soddisfatta per ogni
$n$ naturale:
$\frac{4^{2n}+4\cdot 2^{3n}\cdot \alpha+4\cdot 2^n-4^{2n}}{3}\/=\/ \frac{4\cdot 2^{3n}\cdot \alpha+4\cdot 2^n}{3}\/>\/2^n+\alpha$
$\to \; 2^{3n+2}\cdot \alpha+4\cdot 2^n \/>\/ 3\cdot \alpha+3\cdot 2^n$
Quando consideriamo le potenze di 4 aventi
esponente pari, dunque, l'espressione $2+\frac{x^4-4^{2n}}{3}$
può assumere valori fino a 2 oppure maggiori di $x$.
Detto questo, possiamo senz'altro concentrare
la nostra attenzione sulle potenze di tipo $4^{2n+1}$,
cioè dobbiamo cercare le eventuali soluzioni della
relazione:
$x^{\small 4}-3x+6\/=\/ 4^{2n+1}$
le quali si aggiungeranno (se ci sono) a quelle
già trovate.
Il tutto, ovviamente, purché io non abbia preso
qualche sonoro abbaglio!
A questa parte, però, devo ancora pensare...
