Giusto per alternare

[Pasquale]

Per quanto riguarda la 1^ sequenza, direi che la regola trovata da Sancho funziona sulla sequenza data, ma il criterio lascia dubbi su quali fattori scegliere.

Se fosse stato scritto CENTOTRENTUNO = ? , omettendo il 40, il criterio avrebbe potuto condurre si a 40, ma anche a 42, 36, 30, 22, 13.

Ecco dunque che Bruno chiede CENTOTREDICI = ? e la risposta potrebbe essere 36, 35, 32, 27, 20 o 11.

Dunque bisogna individuare il criterio della scelta nell'ambito della regola scoperta da Sancho (è troppo forte).

[Sancho Panza]

Ottimo, Sancho, per la seconda sequenza.
Che regola hai visto?

Il termine n-esimo della sequenza ha la seguente forma:

[Sancho Panza]

Riguardo al primo quiz, cosa faresti con
CENTOTREDICI?

Suppongo che essendo CENTOTREDICI formato da 12 lettere,
di cui 5 nella parola CENTO e le altre 7 nella parola TREDICI si abbia:

CENTOTREDICI = 35

essendo 35 = 5x7
(ma è solo una supposizione, non ho ancora compreso il meccanismo di formazione della sequenza)

[Quelo]

1 )

DUE = 2, TRE = 2, CINQUE = 9, SETTE = 6, UNDICI = 9,
TREDICI = 12, DICIASSETTE = 30, DICIANNOVE = 25,
VENTITRÉ = 15, VENTINOVE = 20, TRENTUNO = 15,
TRENTASETTE = 28, ..., CENTOTRENTUNO = 40, ...

Io direi che la regola è:

nurmeo vocali x numero consonanti

Quindi CENTOTREDICI = 35

Naturalmente ci sono arrivato partendo dall'intuizione di Sancho.

[Br1]

Il termine n-esimo della sequenza ha la seguente forma:

Ottimo, Sancho
So che per te sarà uno scherzo, quindi ti chiedo
questo: sapresti immaginare una tabella formata
da tutti i numeri naturali in cui i termini della
sequenza da te risolta abbiano una distribuzione
regolare, anzi: simmetrica?

Bene per l'ultimo quesito!
Trovo molto semplice ed efficace la soluzione di
Pasquale

Perfetto, Quelo, la regola è proprio quella
Sancho (comunque formidabile!), mi interessa
molto la tua idea, ma devo capirla meglio (ho
diversi impegni e sto leggendo a pezzi e bocconi):
CENTOTRENTANOVE ti dà 54?
Su questo problema hai formulato due ipotesi
distinte o sbaglio?

E ora, forza con il penultimo e (volendo) magari
anche con questa

[Quelo]

Ottimo, Sancho
So che per te sarà uno scherzo, quindi ti chiedo
questo: sapresti immaginare una tabella formata
da tutti i numeri naturali in cui i termini della
sequenza da te risolta abbiano una distribuzione
regolare, anzi: simmetrica?

Potrebbe essere questa ?

[Br1]

Yess...

Bravo Quelo!

Più o meno, questa è l'origine della sequenza

[Pasquale]

Finora il penultimo non mi riesce, ma vedo che il MCD non sempre esiste, a parte 1. Non vi sono altre condizioni? O nella generalizzazione è compresa anche l'unità?

Esempio: a=2; m=3; n=2

$2^2^m + 1 = 65$

$2^2^n + 1 = 17$

[Br1]

Sì, Pasquale: dobbiamo includere anche l'unità.
Quindi, accade che due numeri con quella forma
siano primi fra loro oppure non lo siano.
Quando non lo sono, però...

[Pasquale]

Intanto vediamo anche questo:

3, 15, 27, 39, 51, 63 , 75, 87, 819, 921, 1023, ...

Dovrebbe essere:

3, 15, 27, 39, 51, 63 , 75, 87, 819, 921, 1023, 1125, 1227, 1329, 1431, 1533, 1635, 1737, 1839, 1941

e poi non capisco dove sia il trucco...presuppongo che il termine successivo non sia 2043...oppure vuoi sapere altro?

[Br1]

Intanto vediamo anche questo:

3, 15, 27, 39, 51, 63 , 75, 87, 819, 921, 1023, ...

Dovrebbe essere:

3, 15, 27, 39, 51, 63 , 75, 87, 819, 921, 1023, 1125, 1227, 1329, 1431, 1533, 1635, 1737, 1839, 1941

e poi non capisco dove sia il trucco...presuppongo che il termine successivo non sia 2043...oppure vuoi sapere altro?

Be', Pasquale, se per proseguire la sequenza
ti sei basato sul fatto che, a partire da 819,
bisogna aggiungere 102, mentre fino a 87
si aggiunge 12, per fare poi un salto di 732,
tutto ciò non mi sembra che esprima una
regola generale apprezzabile.
Per questa via, insomma, non capiamo come
andare avanti all'infinito.
Così come l'hai scritta, comunque, la sequenza
va bene e va bene anche il termine successivo.
Tuttavia... proseguendo con quel passo (102),
il centesimo termine diventerebbe quasi un
decimo di quello "vero".

[Pasquale]

Come sospettavo...mumble, mumble....

[Sancho Panza]

Allora:

$\text 1) x^4 - 3x + 6 = 2^n$

$\text x = \frac{x^4+6-2^n}{3} = 2 - \frac {2^n-x^4}{3}$

conclusione:

x deve essere intero e positivo e dunque $\frac{2^n-x^4}{3}$, oltre ad essere intero, può assumere solo i valori 0, 1 e 2 (perché per valori maggiori la x assumerebbe valori negativi), da cui: x = 2, 1, 0, .

Per Bruno e Pasquale:

volevo chiedervi un chiarimento sulla soluzione proposta da Pasquale per il 4° quesito.
Non capisco la ragione per cui $\frac{{2^n - x^4 }}{3}$ non possa assumere valori negativi

Consideriamo, ad esempio valori pari di n e valori di x non divisibili per 3 e tali che: $2^n < x^4$
In tal caso, $2 - \frac{{2^n - x^4 }}{3}$ assumerebbe valori interi positivi e dunque valori ammissibili per x

Pasquale, potresti spiegarmi meglio la tua soluzione?
Grazie



Nota:
Io per ora ho notato solo che:
non sono possibili valori di x multipli di 3, perché $2^n - x^4$ non sarebbe divisibile per 3
non sono possibili valori di x multipli di 4, perché con n pari: $2^n - x^4$ sarebbe divisibile per 4
ma risulta che $x = 2 - \frac{{2^n - x^4 }}{3}$ non è divisibile per 4
mentre con n dispari: $\frac{{2^n - x^4 }}{3}$ non è un numero intero.

[Br1]

Sancho, hai perfettamente ragione,
la tua domanda è giustificata!
Ho preso anch'io una cantonata

Be', allora vediamo cosa si può ancora
dire proseguendo nella direzione di
Pasquale

[Pasquale]

Elementare Watson: al tuo occhio accorto nulla sfugge ed in effetti la mia dimostrazione (chiamiamola così) è poco chiara ed incompleta.

Nella seconda relazione, l’espressione $x=2-\frac{2^n- x^4}{3}$ l’ho utilizzata per meglio ragionare su quello che si poteva togliere a 2, e sulla scorta delle conclusioni raggiunte ho tratto i valori della x ragionando sull’espressione $x=\frac{x^4+6-2^n}{3}$, sempre della seconda relazione, o anche sulla relazione 1).

Insomma ho cercato le possibili soluzioni vicine allo zero e poi manchevolmente ho chiuso il discorso, non considerando quello che tu dici, meglio visibile nella nuova relazione:

$x=2+\frac{x^4-2^n}{3}$.

Concordo sul fatto che se $x^4=3k$ la frazione non può avere resto zero e dunque dobbiamo ritenere valide soltanto le forme 3k+1 o 3k+2 per k ed n tali che si realizzi la relazione, considerando rispettivamente $\text 2^n=1 o 2^n=2$ in modulo 3.
Tuttavia, poiché anche x non può essere del tipo 3k, ma semmai del tipo 3k+1 o 3k+2, abbiamo che $\text (3k+1)^4 e (3k+2)^4$ sono uguali ad 1 in modulo 3 e dunque bisogna escludere la validità di un $x^4$ della forma 3k+2 e conseguentemente di un $2^n=2$ in modulo 3, ovvero di un n dispari.

In sostanza, le soluzioni valide prevedono una x non multipla di 3 ed una n pari, ma qui mi fermo, perché bisogna cercare di capire se il valore della x che si inserisce in $x^4$ è lo stesso che risulta al termine dei calcoli al secondo termine e la questione per questa strada mi pare un po’ tosta.

Scrivo allora la relazione nella forma:

$\frac{x^4-2^n}{x-2}=3$

si ottiene quoziente senza resto, per $x\neq 2$ e soltanto per n=4, $x^3+2x^2+4x+8$ che deve essere eguagliato a 3, da cui:

$x^3+2x^2+4x+5=0$

con un'unica radice reale, ma non intera, deducendosi al dunque che non vi sono soluzioni, pur se mi tengo strette le due già verificate in precedenza (il tutto salvo errori "di sbaglio").

Necessita un approfondimento, ma intanto vi saluto e tolgo l'incomodo per un po' di giorni.