Un resto particolare.

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Moderatori: Gianfranco, Bruno

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Bruno
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Un resto particolare.

Messaggio da Bruno »

Esistono infiniti quadrati naturali tali che, divisi per 667, diano come resto un numero dispari.
Per esempio, infiniti quadrati hanno la forma 667·m+1 oppure 667·m+207.

Concentriamoci, allora, solo sui resti dispari uguali al prodotto di tre distinti numeri primi:
qual è il più piccolo valore che questi particolari resti possono assumere?
(Bruno)

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Gianfranco
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Re: Un resto particolare.

Messaggio da Gianfranco »

Se ho ben capito il problema...
E' solo una considerazione:

Il merlo tra i cespugli all'alba

E' il verso della poesia gaussiana che definisce il numero 165.

Credo che la soluzione al problema di Bruno non possa essere minore di 165.

$94^2=8836$

$8836 \mod 667 = 165$

$165 = 3 \cdot 5 \cdot 11$

P.S.
La poesia del merlo si trova qui:
https://keespopinga.blogspot.com/2014/0 ... della.html
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

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Re: Un resto particolare.

Messaggio da Bruno »

Bellissima la poesia del merlo :D

E come si arriva a 165?
(Bruno)

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Re: Un resto particolare.

Messaggio da Gianfranco »

Bruno ha scritto:
mar gen 04, 2022 10:53 am
E come si arriva a 165?
Mi piacerebbe dire che ci si arriva leggendo la poesia gaussiana ma in realtà ho fatto così:
1) I più piccoli numeri dispari con tre fattori primi distinti sono:
3*5*7 = 105
3*5*11 = 165
...

2) Facendo qualche "prova":
$n^2 \mod 667$
si nota che 105 non "esce" mentre 165 "esce" quasi subito.

3) Da qui la congettura che sia 165.

Resterebbe da dimostrare che:
$n^2 \mod 667$ non può essere 105.
oppure che può essere, nel qual caso il minimo sarebbe 105.
Più basso di 105 non si può.

Ok, ho capito, dobbiamo ripassare i residui quadratici.
All'asilo non li avevo messi nel piano di studi...
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

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Re: Un resto particolare.

Messaggio da Gianfranco »

Comunque:
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Re: Un resto particolare.

Messaggio da Bruno »

Gianfranco ha scritto:
mar gen 04, 2022 2:22 pm
All'asilo non li avevo messi nel piano di studi...
:lol:



Gianfranco, prova a lavorare con uno dei fattori primi di 667, tutto può diventar più maneggevole :wink:
(Bruno)

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Re: Un resto particolare.

Messaggio da Gianfranco »

Grazie Bruno.
Allora, dopo aver ripassato Legendre e Jacobi, il problema si può risolvere in modo quasi automatico, sebbene laborioso.

Ma ora cercherò di seguire il tuo suggerimento alla ricerca di una illuminazione semplificatrice.
Ci devo dormire sopra, non so quante notti.
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

Pasquale
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Re: Un resto particolare.

Messaggio da Pasquale »

Stando al Decimal e da quanto già detto, sembrerebbe che il minimo resto cercato, dispari e multiplo di tre primi, debba essere il 165.
A parte l'infinità di n^2 che producono tale risultato, ho notato una strana ricorrenza per i numeri che producono i quadrati, presi due a due, che differiscono fra loro del valore fisso 203 = 7x29, di cui il 29 divisore del 667:

94 - 297
370 - 573
761 - 964
1037 - 1240
1428 - 1631
1704- 1907
2095- 2298
.
.
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.
4372 - 4575
4763 - 4966
.

.
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_________________

\text {   }ciao Immagine ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)

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