Buffon docet

[panurgo]

Quando si dice non essere mai sazi: qualcuno di voi avrà senz'altro sentito parlare dell'ago di Buffon.

Un ago di lunghezza $l$ viene lasciato cadere "a caso" su un pavimento sul quale sono segnate delle linee rette parallele distanti tra di loro $d$, con $d \/ < \/ l$: si chiede di calcolare la probabilità che l'ago intersechi una delle linee.

La mia domanda è un po' diversa.
Con riferimento alla figura, si lasciano cadere a caso le due figure geometriche: è più facile che sia il quadrato o il triangolo rettangolo a intersecare una linea?

[delfo52]

io procederei più o meno così:
per ogni figura si calcola come varia, al variare dell'angolo di osservazione, l'ingombro della figura. La terminologia è atipica, ma per spiegarmi è meglio fare un esperimento virtuale. Immaginiamo di interporre la figura ad un fascio di raggi luminosi paralleli e calcolare l'ampiezza dell'ombra su uno schermo ortogonale ai raggi posto oltre la figura stessa.
il quadrato genea valori oscillanti tra 3 e 4,2426...
il triangolo tra 2.4 e 5
Si costruisce un grafico con i valori di tale "ombra" relativi a tutte i possibili orientamenti (equiprobabili). L'area sottesa alla curva generata è proporzionale alla probabilità di "toccamento di riga"
SE&O

[panurgo]

L'area sottesa alla curva generata è proporzionale alla probabilità di "toccamento di riga"
SE&O

Ma non ti sentriresti di azzardare una previsione su quale dei due ha maggiori probabilità di allungare le mani sulla la riga

[delfo52]

se devo sbilanciarmi, opto per il triangolo, per almeno due motivi:
- il valore "medio" tra massimo e minimo è, sia pur di poco, maggiore
- a parità di superficie, una forma "lunga e irregolare" ha più probabilità rispetto a una forma più compatta (immagino le condizioni limite di un cerchio e di un righello stretto stretto e lungo lungo...)

[franco]

Concordo con Enrico sul metodo che andrebbe adottato; purtroppo non ho assolutamente il tempo di sviluppare i calcoli che per il quadrato sarebbero relativamente semplici (salvo il fatto che da 20 anni non faccio un integrale).
Per il triangolo è un po' più complicato in quanto l'ingombro in direzione ortogonale alle righe è "guidato", facendo ruotare il triangolo in verso antiorario, dapprima dalla proiezione del cateto corto, poi, raggiunto il minimo con l'ipotenusa orizzontale, dal cateto lungo e infine dalla combinazione dei due sino a raggiungere il massimo con l'ipotenusa verticale.

A sentimento invece io opto per il quadrato anche perchè, anche se è vero che la media aritmetica fra ingombro minimo e massimo risulta leggermente superiore per il triangolo, mi sembra (a occhio) che calcolando l'area delle curve il risultato possa ribaltarsi.

Purtroppo mi devo fermare qui e poichè mi accingo ad andare una settimana in ferie mi accontenterò di leggere il seguito al mio ritorno.

ciao

[crazydiamond]

io "scientificamente" non so rispondere, ma ... la scelta dei valori numerici è "sospetta" vuoi vedere che la "facilità" (probabilità ?) è la stessa nei due casi ?

in ogni modo, il "diametro" del quadrato è 3*sqrt(2), mentre quello del triangolo è 5

[delfo52]

riguardando le figure (cosa di per sè inutile) mi sono accorto che Panurgo ha voluto indicare, oltre le misure dei due poligoni, anche la distanza tra le parallele dl piano.
Si tratta di un elemento che, a parte la necessità di essere >3, sembrerebbe ininfluente.... o no ?
in effetti, se la distanza fosse esattamente 3+epsilonpiccoloapiacere, cosa avremmo? entrambe le figure hanno una (piccolissima) probabilità di non toccare se e solo se il punto medio del lato lungo 3 cade esattamente a metà tra le righe; e in tal caso , considerando fermo tale punto e focalizzandoci sulle rotazioni della figura, le cose funzionano solo in due momenti della rotazione. Una differenza però c'è: nel quadrato esistono quattro punti-medi-del-lato-3 mentre il triangolo ne ha solo uno

[franco]

Al volo.
Enrico,
se la distanza fra le linee fosse compresa fra 2,40000...1 e 2,99999999... il quadrato non avrebbe alcuna probabilità di non intersecarne almeno una, il triangolo invece ancora ci sta in mezzo le lo ruotiamo con l'ipotenusa parallela alle linee.
ciao

[Admin]

intuitivamente si può ipotizzare che il quadrato abbia più probabilità di intersecare una linea;
infatti, si nota che la circonferenza inscritta nel quadrato ha raggio maggiore (r=1,5) di quella inscritta nel triangolo rettangolo (r=1);
per cui l'area intorno ad una linea del piano entro la quale può cadere il centro del quadrato per avere la certezza che il quadrato intersechi la linea, è maggiore di quella relativa al triangolo rettangolo.
Chiaramente ciò non basta.
per cui ho provato a calcolare le due probabilità;

tuttavia mi sono imbattuto nel seguente integrale:

$\int_3^{3\sqrt2} \arctan\(\frac{\sqrt{\frac 9 2 -x^2}}{x}\)\/dx$

non ho provato a risolverlo, sia per mancanza di tempo, sia perchè mi sembra piuttosto impegnativo.

Guido, a te risulta quest'integrale oppure ho sbagliato qualcosa?

Ciao
Admin

[panurgo]

E' alquanto più semplice di quel che credete: ricordatevi che per un ago di Buffon $p \/ = \/ \frac {2l} {\pi d}$, dove $d$ è la distanza tra le righe e $l \/ < \/ d$ è la lunghezza dell'ago...

[Pasquale]

Troppo complicato per le mie possibilità, per cui azzardo una previsione approssimata sui calcoli dei Maestri circa le probabilità di intersezione:

56,41 % per il quadrato
46,06 % per il triangolo


-------------------------------------------------

Come non detto, alla luce di quanto detto appresso (avevo lavorato sulle aree)

[franco]

Ancora qualche veloce connessione riesco a farla, quindi posto un po' di ragionamenti messi in word:



Spero di riuscire a fare in tempo a leggere qualche commento, altrimenti mi terrò il dubbio durante tutte le passeggiate sulle Dolomiti

ciao

[panurgo]

Ebbravofranco

Entrambi i poligoni hanno un diametro minore della distanza tra due righe: essi possono perciò intersecare solo una riga o nessuna riga. In più, sia il triangolo sia il quadrato sono poligoni convessi: ciò implica che se i poligoni intersecano una riga lo fanno con esattamente due lati.
Indichiamo con $p \left (l_{\script i} \/ l_{\script j} \/ \middle | \/ I \right )$ la probabilità che l’intersezione avvenga sui lati $l_{\script i}$ e $l_{\script j}$: la probabilità di avere l’intersezione del poligono è data dalla somma delle probabilità di ciascuna coppia di lati

$p \left (P \/ \middle | \/ I \right ) \/ = \/ \sum_{\script i = 1}^{\script n - 1} \sum_{\script j = i + 1}^{\script n} p \left (l_{\script i} \/ l_{\script j} \/ \middle | \/ I \right )$

Per il triangolo

$p \left ( T \/ \middle | \/ I \right) \/ = \/ p \left (l_{\script 1} \/ l_{\script 2} \/ \middle | \/ I \right ) \/ + \/ p \left (l_{\script 1} \/ l_{\script 3} \/ \middle | \/ I \right ) \/ + \/ p \left (l_{\script 2} \/ l_{\script 3} \/ \middle | \/ I \right )$

Indichiamo ora con $p \left (l_{\script i} \/ \middle | \/ I \right )$ la probabilità che l’intersezione avvenga sul lato $l_{\script i}$: poiché il poligono considerato è convesso, l’intersezione avviene sul lato $l_{\script i}$ se e solo se avviene anche su un altro lato e può avvenire con qualunque altro lato

$p \left (l_{\script i} \/ \middle | \/ I \right ) \/ = \/ \sum_{\script j \neq i} p \left (l_{\script i} \/ l_{\script j} \/ \middle | \/ I \right )$

per il triangolo

$p \left (l_{\script 1} \/ \middle | \/ I \right ) \/ = \/ p \left (l_{\script 1} \/ l_{\script 2} \/ \middle | \/ I \right ) \/ + \/ p \left (l_{\script 1} \/ l_{\script 3} \/ \middle | \/ I \right ) \\ p \left (l_{\script 2} \/ \middle | \/ I \right ) \/ = \/ p \left (l_{\script 1} \/ l_{\script 2} \/ \middle | \/ I \right ) \/ + \/ p \left (l_{\script 2} \/ l_{\script 3} \/ \middle | \/ I \right ) \\ p \left (l_{\script 3} \/ \middle | \/ I \right ) \/ = \/ p \left (l_{\script 1} \/ l_{\script 3} \/ \middle | \/ I \right ) \/ + \/ p \left (l_{\script 2} \/ l_{\script 3} \/ \middle | \/ I \right )$

Abbiamo quindi che

$\sum_{\script i = 1}^{\script n} p \left ( l_{\script i} \/ \middle | \/ I \right ) \/ = \/ \sum_{\script i = 1}^{\script n} \sum_{\script j \neq i} p \left (l_{\script i} \/ l_{\script j} \/ \middle | \/ I \right ) \/ = \/ 2 \sum_{\script i = 1}^{\script n - 1} \sum_{\script j = i + 1}^{\script n} p \left (l_{\script i} \/ l_{\script j} \/ \middle | \/ I \right ) \/ = \/ 2 p \left (P \/ \middle | \/ I \right )$

per il triangolo

$\begin{eqnarray} p \left (l_{\script 1} \/ \middle | \/ I \right ) & = & p \left (l_{\script 1} \/ l_{\script 2} \/ \middle | \/ I \right ) \/ + \/ p \left (l_{\script 1} \/ l_{\script 3} \/ \middle | \/ I \right ) \\ p \left (l_{\script 2} \/ \middle | \/ I \right ) & = & p \left (l_{\script 1} \/ l_{\script 2} \/ \middle | \/ I \right ) \/ + \/ p \left (l_{\script 2} \/ l_{\script 3} \/ \middle | \/ I \right ) \\ p \left (l_{\script 3} \/ \middle | \/ I \right ) & = & p \left (l_{\script 1} \/ l_{\script 3} \/ \middle | \/ I \right ) \/ + \/ p \left (l_{\script 2} \/ l_{\script 3} \/ \middle | \/ I \right ) \\ \hline \sum_{\script i = 1}^{\script 3} p \left ( l_{\script i} \/ \middle | \/ I \right ) & = & 2 \left \[ p \left (l_{\script 1} \/ l_{\script 2} \/ \middle | \/ I \right ) \/ + \/ p \left (l_{\script 1} \/ l_{\script 3} \/ \middle | \/ I \right ) \/ + \/ p \left (l_{\script 2} \/ l_{\script 3} \/ \middle | \/ I \right ) \right \] \end{eqnarray}$

Ora è sufficiente ricordarsi che per l’ago di Buffon di lunghezza $l_{\script i}$, la probabilità di intersezione vale

$p \left (l_{\script i} \/ \middle | \/ I \right ) \/ = \/ \frac {2 l_{\script i} } {\pi d}$

quindi
$\sum_{\script i = 1}^{\script n} p \left (l_{\script i} \/ \middle | \/ I \right ) \/ = \/ \frac 2 {\pi d} \sum_{\script i = 1}^{\script n} l_{\script i} \/ = \/ 2 p \left (P \/ \middle | \/ I \right )$

e quindi

$p \left (P \/ \middle | \/ I \right ) \/ = \/ \frac 1 {\pi d} \sum_{\script i = 1}^{\script n} l_{\script i} \/ = \/ \frac {\text perimetro} {\pi d}$

Indipendentemente dalla forma.

Quanto vale il perimetro di queste due figure?

Una è un quadrato di lato $3$, l'altra è il triangolo pitagorico $3,4,5$

Entrambe hanno perimentro $12$ e quindi

$p \left ( P \/ \middle | \/ I \right ) \/ = \/ \frac {12} {\pi 6} \/ = \/ \frac 2 {\pi}$

[crazydiamond]

io "scientificamente" non so rispondere, ma ... la scelta dei valori numerici è "sospetta" vuoi vedere che la "facilità" (probabilità ?) è la stessa nei due casi ?

in ogni modo, il "diametro" del quadrato è 3*sqrt(2), mentre quello del triangolo è 5

che avevo detto ? i valori numerici non erano scelti a caso

interessante il fatto del perimetro: si può interpretare così
"più è lunga la linea (spezzata) che può venire in contatto con una delle due rette, più è alta la probabilità che ciò avvenga (ferme restando le altre ipotesi, tra cui il diametro minore della distanza fra le rette e la convessità dei poligoni)"

tutto sommato mi sembra anche un risultato condivisibile intuitivamente (per quello che conta, ma nella didattica questo conta !)

[panurgo]

Caro franco, non è difficile questo integrale

$3\int_{\script 0}^{\script \alpha} {d\vartheta \cos \vartheta } \/ + \/ 4\int_{\script \alpha}^{\script \frac{\pi }{2}} {d\vartheta \sin \vartheta } \/ + \/ 4\int_{\script \frac{\pi }{2}}^{\script \pi} {d\vartheta \sin \vartheta } \/ - \/ 3\int_{\script \frac{\pi }{2}}^{\script \pi} {d\vartheta \cos \vartheta }$

perché

$\int {dt \/ \sin t} \/ = \/ - \cos t \\ \int {dt \/ \cos t} \/ = \/ \sin t$

Si ottiene

$3\left[ {\sin \vartheta } \right]_ {\script 0}^{\script \alpha} \/ - \/ 4\left[ {\cos \vartheta } \right]_ {\script \alpha} ^{\script \frac{\pi }{2}} \/ - \/ 4\left[ {\cos \vartheta } \right]_ {\script \frac{\pi }{2}}^{\script \pi} \/ - \/ 3\left[ {\sin \vartheta } \right]_ {\script \frac{\pi }{2}}^{\script \pi}$

cioè

$\begin{array}{l} 3\left( {\sin \alpha \/ - \/ \sin 0} \right) \/ - \/ 4\left( {\cos \frac{\pi }{2} \/ - \/ \cos \alpha } \right) \/ - \/ 4\left( {\cos \pi \/ - \/ \cos \frac{\pi }{2}} \right) \/ - \/ 3\left( {\sin \pi \/ - \/ \sin \frac{\pi }{2}} \right) \\ 3\left( {\sin \alpha \/ - \/ 0} \right) \/ - \/ 4\left( {0 \/ - \/ \cos \alpha } \right) \/ - \/ 4\left( { - 1 \/ - \/ 0} \right) \/ - \/ 3\left( {0 \/ - \/ 1} \right) \\ 3\sin \alpha \/ + \/ 4\cos \alpha \/ + \/ 7 \\ \end{array}$

Tu hai scritto

$\tan\alpha \/ = \/ \frac34$

In realtà, va altrettanto bene

$\left \{ \sin \alpha \/ = \/ \frac 35 \\ \cos \alpha \/ = \/ \frac 45 \right.$

da cui segue

$3 \frac 35 \/ + \/ 4 \frac 45 + 7 \/ = \/ 12$