A volontà.

Il forum di Base5, dove è possibile postare problemi, quiz, indovinelli, rompicapo, enigmi e quant'altro riguardi la matematica ricreativa e oltre.

Moderatori: Gianfranco, Bruno

Rispondi
Bruno
Livello 10
Livello 10
Messaggi: 1764
Iscritto il: lun nov 21, 2005 6:07 pm
Località: Bologna

A volontà.

Messaggio da Bruno »

Consideriamo i numeri naturali la cui somma delle cifre eguagli il relativo prodotto.
Concentriamoci su quelli che contengono tutte le cifre da 1 a 9 (lo 0 è naturalmente escluso).
Trovarne infiniti, spiegando in modo semplice e preciso la regola applicata.
(Bruno)

...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}

Quelo
Livello 6
Livello 6
Messaggi: 569
Iscritto il: ven giu 16, 2006 3:34 pm

Re: A volontà.

Messaggio da Quelo »

Io farei così: prendo un numero di 9 cifre contenente tutte le cifre da 1 a 9, il prodotto è P=9!, la somma è S=45
Aggiungo P-45 volte il numero 1, il prodotto non cambia e la somma eguaglia il prodotto
Aggiungo una cifra N maggiore di 1, il nuovo prodotto sarà P'=NP, mentre la somma S'=S+N, quindi aggiungo (N-1)P-N volte 1
E così via

SE&O
[Sergio]

Gianfranco
Supervisore del sito
Supervisore del sito
Messaggi: 1353
Iscritto il: ven mag 20, 2005 9:51 pm
Località: Sestri Levante
Contatta:

Re: A volontà.

Messaggio da Gianfranco »

Ottimo Quelo!
Sono sbalordito dall'enormità di questi numeri.
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

Gianfranco
Supervisore del sito
Supervisore del sito
Messaggi: 1353
Iscritto il: ven mag 20, 2005 9:51 pm
Località: Sestri Levante
Contatta:

Re: A volontà.

Messaggio da Gianfranco »

Bruno, per favore, potresti ricordarci le notazioni:

a) per esprimere il concatenamento (o concatenazione) di due interi per ottenerne un terzo, es.
$25, 471 -> 25471$

b) per rappresentare più brevemente gli interi con cifre o gruppi di cifre ripetute, per esempio:
$111111113275757575$
$(1)_{8\ volte}32(75)_{4\ volte}$

Grazie.
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

Bruno
Livello 10
Livello 10
Messaggi: 1764
Iscritto il: lun nov 21, 2005 6:07 pm
Località: Bologna

Re: A volontà.

Messaggio da Bruno »

Mi associo all'ottimo per Sergio 😊

Penso che così possa andare bene, nell'ambito della concatenazione:
$(1)_832(75)_4$.


A me è capitato di 'vedere' questa sequenza di numeri, quando mi è apparso il problema:

B5 - Somma & Prodotto & Tutte le cifre.png
B5 - Somma & Prodotto & Tutte le cifre.png (4.27 KiB) Visto 294 volte

Naturalmente, le cifre non unitarie (per esempio) possono essere 'sparpagliate' allegramente fra gli 1.
(Bruno)

...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}

Gianfranco
Supervisore del sito
Supervisore del sito
Messaggi: 1353
Iscritto il: ven mag 20, 2005 9:51 pm
Località: Sestri Levante
Contatta:

Re: A volontà.

Messaggio da Gianfranco »

Bel "pattern", Bruno.

Per gestire mentalmente il problema, ho preferito pensarlo in termini di multi-insiemi (multiset) cioè insiemi in cui alcuni elementi possono essere ripetuti.
Ciò è possibile perché l'addizione e la moltiplicazione sono commutative e quindi l'ordinamento delle cifre è indifferente.

Questa è una variante della soluzione di Sergio, credo che generi la sequenza più "lenta" possibile.

1) Consideriamo la sequenza:
23456789
223456789
2223456789
...
Nel primo elemento, somma: $s = 44$ e prodotto: $p = 9!$
A ogni passo, il prodotto delle cifre raddoppia e la loro somma aumenta di 2 unità.
passo 0: $p, s$
passo 1: $2p, s+2$
passo 2: $4p, s+4$
...
passo n: $2^n\cdot p,s+2\cdot n$

2) Per far sì che la somma sia uguale al prodotto, basta aggiungere alla stringa tanti "1" quanto basta, ma quanti sono?

3) Per trovare quanti 1 devo aggiungere per uguagliare la somma al prodotto al passo n, posso risolvere un'equazione:

$2^n\cdot p= k+s+2\cdot n$

da cui:

$k=2^n\cdot p-s-2\cdot n$


passo 0: $1(9!-44\ volte) 23456789$
passo 1: $1(2\cdot 9!-46\ volte) 223456789$
passo 2: $1(4\cdot 9!-48\ volte) 2223456789$
...
passo n: $1(2^n\cdot 9!-44-2\cdot n\ volte) 2(n+1\ volte)3456789$

Salvo erori&ommisioni.
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

Bruno
Livello 10
Livello 10
Messaggi: 1764
Iscritto il: lun nov 21, 2005 6:07 pm
Località: Bologna

Re: A volontà.

Messaggio da Bruno »

Ottimo, Gianfranco :D
(Bruno)

...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}

franco
Livello 8
Livello 8
Messaggi: 1285
Iscritto il: mar dic 12, 2006 12:57 pm
Località: Bèrghem (Sardegna)

Re: A volontà.

Messaggio da franco »

Se non ho capito male il problema, con Excel si riesce facilmente a calcolare quanti uno aggiungere ad un qualunque insieme di cifre per uguagliare somma e prodotto:
avolonta1.PNG
avolonta1.PNG (27.46 KiB) Visto 213 volte
avolonta2.PNG
avolonta2.PNG (8.53 KiB) Visto 206 volte
(formula editata ... avevo invertito base e esponente :) )
Franco

ENGINEER
noun. (en-juh-neer)
someone who does precision guesswork based on unreliable data provided by those of questionable knowledge.
See also wizard, magician

Bruno
Livello 10
Livello 10
Messaggi: 1764
Iscritto il: lun nov 21, 2005 6:07 pm
Località: Bologna

Re: A volontà.

Messaggio da Bruno »

Direi di sì, ottimo :D
(Bruno)

...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}

Rispondi