Ventisei monete

[franco]

Nel vostro borsellino ci sono 26 monete.
Prendendone 20 a caso, avrete sempre almeno una moneta da 1 euro, due da 10 centesimi e cinque da 50 centesimi.
Quanto denaro c'è complessivamente nel borsellino?


www.diophante.fr
E50577
(da La Jaune et la Rouge di maggio 2021)

Dans votre porte-monnaie, il y a 26 pièces. Si vous sortez 20 pièces au hasard de votre porte-monnaie, vous retirerez toujours au moins une pièce de 1 euro, deux pièces de 10 centimes, et cinq pièces de 50 centimes. Combien y a-t-il d'argent dans votre porte-monnaie ?

[Quelo]

Al volo, sono 7 da 1€, 8 da 10 cent e 11 da 50 cent, totale 13,30 €

[franco]

Effettivamente era facile facile ...
Magari possiamo aggiungerci qualcosa:

• Prendendo a caso queste 20 monete qual è il valore atteso dell'importo estratto?

• Quante monete dobbiamo togliere a caso dal borsellino per massimizzare la probabilità di estrarre esattamente 10 euro?

[Pasquale]

In relazione alla prima domanda, direi che abbiamo un valore atteso di € 10,23

[franco]

In relazione alla prima domanda, direi che abbiamo un valore atteso di € 10,23

facile facile anche questa

20/26 di 13,30 € è approssimativamente 10,23

L'ultima domanda forse però è un po' più complicata ...

[Pasquale]

Scusa Franco, non mi è chiara la seconda domanda:
per "monete da togliere a caso dal borsellino", intendi quelle da estrarre dalle 26, in quantità tot, per un totale di euro 10, oppure trattasi di monete da togliere dalle 26, in modo che le 20 estratte totalizzino 10 euro ? Oppure si vuole intendere tutt'altro?

[franco]

Pasquale, la esprimo con parole diverse:

Estraendo a caso $n$ monete dal borsellino ci sarà una determinata probabilità $P(n)$ di aver estratto esattamente un importo pari a 10 €.
Si chiede di identificare il valore di $n$ per il quale $P(n)$ assume il massimo valore.

(P.S. evidentemente ci sono anche valori di $n$ per cui $P(n)=0$)

[Quelo]

Per ottenere 10€ esatti abbiamo bisogno di almeno 13 monete e massimo 20, per tutti gli altri alori di n avremo P(n)=0
In particolare:
n=13; 10=7x1+6x0,5
n=14; 10=6x1+8x0,5
n=15; 10=5x1+10x0,5
n=16; nessuna combinazione
n=17; 10=7x1+5x0,5+5x0,1
n=18; 10=6x1+7x0,5+5x0,1
n=19; 10=5x1+9x0,5+5x0,1
n=20; 10=4x1+11x0,5+5x0,1

Da n=13 a n=15 non sono presenti le monete da 0,1€ quindi il numero di combinazioni possibili sul totale è molto basso e la probabilità P(n) molto remota (siamo nell'ordine dello 0,01%)
Discorso analogo per n=17 e n=20 che contengono tutte le monete di uno stesso gruppo (qui siamo nell'ordine dell'1%)
A questo punto se la giocano n=18 e n=19, a occhio punterei sul 19 che mi sembra più variegato, ma lascio ad altri i calcoli statistici.
Messo alla prova con un algoritmo siamo nell'ordine del 10% per P(19) mentre P(18) si attesta sull'8%

[Pasquale]

Facendo rifermento ai dati del problema ed all'egregio lavoro di Sergio, abbiamo i seguenti totali di monete e combinazioni possibili per conteggiare 10 euro, con le diverse quantità di estrazioni totali più plausibili:
.
quantità di estrazioni: ............................. 20 -- 19 -- 18 -- 17 -- 15 -- 14 -- 13
.
11 monete da 50 c. ................................. 11 -- 09 -- 07 -- 05 -- 10 -- 08 -- 06
08 monete da 10 c. ................................. 05 -- 05 -- 05 -- 05 --- / --- / --- /
07 monete da 01 € .................................. 04 -- 05 -- 06 -- 07 -- 05 -- 06 -- 07
.

Ossevando la tabella ed i valori riportati, noto che la somma delle monete da 50 e 10 centesimi (11+8) è quasi il triplo delle monete da 1€, con questo volendo intendere che la caualità delle estrazioni, ripetutamente effettuate, dovrebbe avvicinarsi a tale rapporto.
Estraendo 20 monete, ad esempio, non possiamo pensare che la casualità vada a privilegiare l'estrazione di tutte le 11 monete da 50c..
D'altro canto, la somma delle monete da 50 c. e da 10 c. corrisponde al quadruplo di quelle da 1€.
Estraendone 18, la suddetta somma sarebbe il doppio delle monete da 1€, per non dire degli altri valori che possono notarsi col numero di estrazioni a seguire (17, 15, 14, 13, per le quali le monete da 50 c. estratte sono pochine rispetto alla maggiore quantità degli altri valori in campo).
D'altra parte, con 15,14 e 13 estrazioni non dovrebbe essere estratta alcuna monetra da 10 c., il che appare molto poco probabile.

Mi pare in definitiva che le 19 estrazioni siano quelle che più possano aderire alle leggi della casualità onesta oltre che al rapporto indicato: 9+5=14 , quasi il triplo di 5.
Un po' di fattoriali dovrebbero confermare la promozione del 19 quale più probabile degli altri.

[Quelo]

Se le monete estratte danno somma 10€, quelle rimanenti daranno somma 3,30€
Queste ultime sono 7/8 contro le 18/19 estratte. Dovrebbe essere più veloce fare i conti su queste che non sulle altre.

++++++++++++++

Mi correggo, i calcoli sono complementari e la complessità è la stessa.
Vediamo i casi 18 e 19

Le combinazioni totali di n estratti su m elementi sono: $\displaystyle C_{n,m}=\begin{pmatrix} m \\ n \end{pmatrix}=\frac{m!}{n!(m-n)!}$

Il totale delle combinazioni di monete che corrispondono alla somma di 10€ sarà il prodotto dei relativi coefficienti binomiali
Ad esempio
$\displaystyle P(18)=\frac{\begin{pmatrix} 7 \\ 6 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 11 \\ 7 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 8 \\ 5 \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} 26 \\ 18 \end{pmatrix}}=8,28\%$

$\displaystyle P(19)=\frac{\begin{pmatrix} 7 \\ 5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 11 \\ 9 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 8 \\ 5 \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix} 26 \\ 19 \end{pmatrix}}=9,83\%$

SE&O

[franco]

SE&O

Confermo

Anche io avevo fatto i conti sulle monete restanti (salvo poi rendemi conto che non cambiava nulla ...) e ho calcolato la probabilità con le stesse formule indicate da Sergio per tutte le combinazioni che sommavano 3,30 €:

26monete.PNG (8.31 KiB) Visto 11105 volte

La probabilità massima si ha con 7 monete lasciate nel borsellino, quindi con 19 estratte.

ciao

[Pasquale]

Bene. Aggiungo una routine di simulazione in Decimal Basic, in cui tutte le monete sono epresse in centesimi.
Per una maggiore precisione del risultato, arrotondato alla 2^ cifra decimale, aumentare i valori delle righe 10 e 40, aumentando anche l'attesa.
Alla riga 20 è possibile cambiare il numero di monete da estrarre.

Codice: Seleziona tutto

DIM c(26) !'monete in centesimi disponibili
DIM d(26) !'come sopra
DATA 50,10,100,50,10,50,100,50,10,100,50,10,100 
DATA 50,10,100,50,10,50,100,50,10,100,50,10,50
FOR m=1 TO 26
   READ c(m)
NEXT M
RANDOMIZE
LET tot=0
10 FOR n=1 TO 1000000

Codice: Seleziona tutto

 FOR m=1 TO 26 !'ricostruisci la matrice originale
         LET d(m)=c(m)
      NEXT M
      LET cont=0
20    FOR m=1 TO 19 !'monete estratte a caso
30    LET x=1+INT(RND*26)
         IF d(x)<>0 THEN 
            LET cont=cont+d(x)
            LET d(x)=0
         ELSE
            GOTO 30
         END IF
      NEXT M
      IF cont =1000 THEN LET tot=tot+1      
      NEXT n
40 LET perc=tot/10000
   PRINT "10€ totalizzati al";ROUND(perc,2);"%" 
END