Triangolo diviso in 5 triangoli congruenti

[Gianfranco]

Nelle figure vedete un triangolo diviso in 3, 4, 6 triangoli congruenti.
Chi sa proporre un esempio di triangolo diviso in 5 triangoli congruenti?

triang_diviso5.png (21.43 KiB) Visto 15143 volte

P.S. All'inizio, la presentazione del problema mi ha portato fuori strada.
Poi ho trovato una soluzione ma non so se è unica...

[Bruno]

Non è detto che il triangolo da suddividere sia necessariamente equilatero, Gianfranco, giusto?

[Quelo]

Soluzione senza troppi scrupoli

Triangolo5-1.png (43.18 KiB) Visto 15126 volte

Triangolo5-2.png (27.43 KiB) Visto 15126 volte

Triangolo5-3.png (20.99 KiB) Visto 15126 volte

Triangolo5-4.png (37.75 KiB) Visto 15126 volte

[Bruno]

Idea buona

[Gianfranco]

Soluzione senza troppi scrupoli

Idea sorprendente!
Praticamente risolve un problema più complesso che forse si potrebbe formulare così:

Si può dividere un triangolo equilatero in k parti le quali possano essere ricomposte in modo da formare n triangoli congruenti?

Visto che Michael Beeson ha dimostrato che nessun triangolo si può scomporre in 7 triangoli congruenti, (https://arxiv.org/abs/1811.09723), sarebbe interessante applicare la tua tecnica al triangolo equilatero con n=7 e k minimo possibile.

[Gianfranco]

Non è detto che il triangolo da suddividere sia necessariamente equilatero, Gianfranco, giusto?

Credo di sì, cioè che il triangolo non sia equilatero.
Questo è un aspetto un po' ingannevole ma anche stimolante delle figure.

[Bruno]

Grazie.
Ho visto il documento: stavo pensando proprio a qualcosa come la figura 5

[panurgo]

Non è detto che il triangolo da suddividere sia necessariamente equilatero, Gianfranco, giusto?

Temo proprio che, se il triangolo da suddividere non fosse equilatero allora le suddivisioni in $3$ e in $6$ non sarebbero congruenti.

Infatti, se le suddivisioni in $3$ sono congruenti allora

TDI5TC.01.480x480.png (15.37 KiB) Visto 15072 volte

il triangolo è equilatero. Lo stesso vale per le suddivisioni in $6$

[Bruno]

Naturalmente, mi riferivo a un'eventuale soluzione per il caso 5.

Una suddivisione in tre triangoli congruenti è possibile anche in un triangolo non equilatero.

[Gianfranco]

Ecco la soluzione di Beeson, nell'articolo citato prima. Sono triangoli rettangoli.

Beeson_5_tiling.png (6.02 KiB) Visto 15002 volte

[Maurizio59]

Appurato che il triangolo equilatero non può essere diviso in cinque triangoli uguali sorge spontanea la seguente domanda:
Qual è l'area massima dei cinque triangoli uguali contenuti in un triangolo equilatero di area 1 ?

[Quelo]

Questa è la miglior soluzione che ho trovato:

5_tri_in_tri.png (29.59 KiB) Visto 11668 volte

L'area di ogni triangolo è 0,141622

[Maurizio59]

E' evidente che potendo essere diviso in sei triangoli uguali, ognuno di area 1/6, i limiti dell'area sono: $\frac16\leq A<\frac15$.

[Quelo]

Decisamente era molto più facile del previsto

5_tri_in_tri_2.png (29.93 KiB) Visto 11650 volte

$\displaystyle A=\sqrt{3}\tan{\frac{\pi}{30}}=0,18205$

[Bruno]

Perfetto