Prodotto degli inversi

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Moderatori: Gianfranco, Bruno

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Quelo
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Prodotto degli inversi

Messaggio da Quelo »

Trovare due numeri il cui prodotto sia uguale al prodotto degli stessi numeri con le cifre invertite.

Ad esempio se il primo numero è formato dalle cifre $\diamondsuit$ e $\heartsuit$ e il secondo da $\clubsuit$ e $\spadesuit$, deve essere $\diamondsuit\heartsuit \cdot \clubsuit\spadesuit = \heartsuit\diamondsuit \cdot \spadesuit\clubsuit$
[Sergio]

Bruno
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Re: Prodotto degli inversi

Messaggio da Bruno »

Scansando i palindromi, il più piccolo prodotto sembra questo: 12×42 = 21×24.
Cercando cifre tutte diverse, invece, si parte da qui (pare): 12×63 = 21×36, seguito da 13×62 = 31×26.
:roll:
(Bruno)

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Quelo
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Re: Prodotto degli inversi

Messaggio da Quelo »

Molto bene.
Secondo me anche qui c'è uno schema, come nel quesito dei cubi.
Chi trova una (o più) formulazioni generali?
[Sergio]

Bruno
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Re: Prodotto degli inversi

Messaggio da Bruno »

D'emblée, Sergio, vedo questo piccolo schema.


Prendiamo un numero di due cifre non maggiori di 3: poniamo 12.

Moltiplichiamo ogni cifra per un numero non maggiore di 4, così non abbiamo riporti: poniamo 4, quindi otteniamo 48.

Troviamo che 12×84 = 21×48.

Ora possiamo aggiungere fra 1 e 2 una cifra non maggiore di 2 e fra 4 e 8 inseriamo il suo quadruplo, replicando tali cifre lo stesso numero di volte:
112×844 = 211×448,
1112×8444 = 2111×4448 etc.
122×884 = 221×488,
1222×8884 = 2221×4888 etc.

Ma possiamo anche fare così:
11212×84844 = 21211×44848,
112212×848844 = 212211×448848,
1121212×8484844 = 2121211×4484848 etc.
procedendo con inserimenti centrali.

Con qualche semplice calcolo algebrico, la faccenda si può generalizzare.


Non so se sia ciò che intendevi :wink:
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Pasquale
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Re: Prodotto degli inversi

Messaggio da Pasquale »

Simpatico :!: Vediamo cosa ne pensa Decimal Basic con numeri a 3 cifre :shock:
Dove sotto si vede una S in grassetto, si intende che sia il simbolo di un dollaro (ho dovuto farlo, perché il dollaro mi comporta problemi dopo l'invio... non ricordo cosa fare per evitarlo). :(

cont=0
10 FOR m=102 TO 997
20 FOR n=m+1 TO 998
LET mS=STRS(m)
LET nS=STRS(n)
LET j$ = ""
30 FOR j = 3 TO 1 STEP -1
LET jS =jS + midS(mS,j,1)
NEXT j
LET p=VAL(jS)[/quote]
LET k$ = ""
40 FOR k=4 TO 1 STEP -1
LET kS=kS + midS(nS,k,1)
NEXT k
LET q=VAL(kS)
IF m*n=p*q THEN
IF m<>p AND m<>q AND n<>p AND n<>q THEN
LET cont=cont+1
PRINT m;"x";n;"=";p;"x";q
END if
END IF
NEXT n
NEXT m
print
PRINT "Totale";cont;"soluzioni"
END

Tuttavia , se non ci sicontenta delle 120 soluzioni, volendo collezionare anche 1228 soluzioni con numeri da 4 cifre, è sufficiente sostituire le righe 10, 20, 30 e 40 con le seguenti:

10 FOR m=1002 TO 9997
20 FOR n=m+1 TO 9998
30 FOR j=4 TO 1 STEP -1
40 FOR k=4 TO 1 STEP -1
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\text {   }ciao Immagine ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)

Bruno
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Re: Prodotto degli inversi

Messaggio da Bruno »

Ottimo, Pasquale 💪😄

Sopra mi sono limitato a una svelta osservazione pressoché cartacea, giusto per dare una prima risposta a Sergio 😉
(Bruno)

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Quelo
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Re: Prodotto degli inversi

Messaggio da Quelo »

Ottimo lavoro sia Bruno che Pasquale
Molti di questi risultati possono essere generalizzati, ad esempio il caso 13x62=31x26, 133x662=331x266, ... si può scrivere

$\displaystyle \left ( 10^n+\frac{10^n-1}{3} \right ) \left ( \frac{2(10^{n+1}-1)}{3} -4\right )=\left ( \frac{10^{n+1}-1}{3} -2 \right ) \left ( 2\cdot10^n+\frac{2(10^n-1)}{3} \right )$

@Pasquale, per non avere problemi con i listati puoi usare [ code] ... [ /code]
[Sergio]

Bruno
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Re: Prodotto degli inversi

Messaggio da Bruno »

Riporto la routine di Pasquale (mondata, c'era anche un [/quote] fuori posto):

Codice: Seleziona tutto

LET cont=0
10 FOR m=102 TO 997
20    FOR n=m+1 TO 998
         LET m$=STR$(m)
         LET n$=STR$(n)
         LET j$ = ""
30       FOR j = 3 TO 1 STEP -1
            LET j$ =j$ & mid$(m$,j,1)
         NEXT j
         LET p=VAL(j$)
         LET k$ = ""
40       FOR k=4 TO 1 STEP -1
            LET k$=k$ & mid$(n$,k,1)
         NEXT k
         LET q=VAL(k$)
         IF m*n=p*q THEN
            IF m<>p AND m<>q AND n<>p AND n<>q THEN
               LET cont=cont+1
               PRINT m;"x";n;"=";p;"x";q
            END if
         END IF
      NEXT n
   NEXT m
   print
   PRINT "Totale";cont;"soluzioni"
END


Qui invece riporto il codice che ho buttato giù per MAGMA (basta incollarlo nel box), sia pure in modo un po' grezzo, anche se permette di farsi un'idea:

Codice: Seleziona tutto

for x in [100..999] do
    for y in [x+1..999] do
        if Seqint(Reverse(Intseq(x))) gt x then /* Escludo casi uguali con membri invertiti */     
            if Seqint(Reverse(Intseq(x))) ne x and Seqint(Reverse(Intseq(y))) ne y and Intseq(x) ne Reverse(Intseq(y)) then /* Escludo i palindromi e i casi come x = 102  e y = 201 */
                if x*y eq Seqint(Reverse(Intseq(x)))*Seqint(Reverse(Intseq(y))) then /* Cerco i casi per cui x*y = reverse(x)*reverse(y) */
                    x, "x", y, "=", Seqint(Reverse(Intseq(x))), "x", Seqint(Reverse(Intseq(y))), "=", x*y; /* Riporto i risultati */
                end if;
            end if;
        end if;
    end for;
end for;
(Bruno)

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Re: Prodotto degli inversi

Messaggio da Pasquale »

Grazie a Bruno e Sergio.
Ogni tanto c'è qualcosa che finisce nel dimenticatoio e da lì deduco (matematicamente parlando) che il tempo che avanza non depone a favore.
Ritornando alla routine, è evidente che sostituendo in modo opportuno i valori nelle 4 righe indicate, è possibile cercare i risultati relativi a numeri da più
cifre, avendo voglia di attendere i tempi necessari, ma di meno se si vuole estrapolare magari un solo esempio.
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Bruno
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Re: Prodotto degli inversi

Messaggio da Bruno »

Pasquale ha scritto:
dom ott 24, 2021 4:10 am
Tuttavia , se non ci si contenta delle 120 soluzioni, volendo collezionare anche 1228 soluzioni con numeri da 4 cifre, è sufficiente ...

Pasquale, mi sembra che siano meno i casi effettivi.
Nella tua lista compaiono, per esempio:

102 x 402 = 201 x 204
201 x 204 = 102 x 402

che sono però la stessa cosa.
Dico bene?
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Re: Prodotto degli inversi

Messaggio da Pasquale »

Si, dici bene, ma evitare questo avrebbe complicato ed appesantito la routine, che legge e confronta da sinistra a destra.
Tutti i prodotti analizzati al primo membro, che abbiano un corrispondente al secondo membro, diventano corrispondenti al secondo membro dell'altro spostato al primo membro.
Tuttavia, i 120 prodotti da analizzare, posti al primo membro delle eguaglianze, in prima battuta, sono diversi e non si sa se abbiano una soluzione, se non dopo aver effettuato le inversioni e le moltiplicazioni.
Se avesse elencato al primo membro soltanto 60 casi, quali avrebbe dovuto considerare il povero Decimal Basic? Qualcuno avrebbe protestato: "Oh Decimal, oh che tu fai ? e questo e tal altro, perché non l'hai te tu provato ? e le altre centinaia di casi li hai esaminati? "
Comunque, è evidente che se il prodotto al primo membro è uguale a quello del secondo membro, è vero anche che il prodotto del secondo membro è uguale a quello del primo. Il conteggio poi dei casi positivi trovati penso sia una questione d'interpretazione delle operazioni effettuate, considerate o da considerare,o dei risultati.

Resta comunque il ringraziamento a Gianfranco, Bruno e quanti altri da anni mantengono ancora vivo il Forum, specialmente in questo poco piacevole periodo.
W tutti :!: :D

Aggiungo un esempio con numeri a 6 cifre: 123523 x 618432 = 325321 x 234816
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