Potenze di 7.

[Bruno]

Dall'amico Domenico Annunziata ho preso l'ispirazione per questo problemino:

quali sono le soluzioni intere di $\; 957+x^2 = 7^y$ ?

[franco]

La prima potenza "intera" di 7 superiore a 957 è $7^4=2401$
$2401-957=1444=38^2$

Questo non signifca automaticamente che $x=38$ e $y=4$ siano le uniche ma sono comunque soluzioni

[Bruno]

Questo non signifca automaticamente che $x=38$ e $y=4$ siano le uniche ...

Già

[Quelo]

A occhio direi che anche $x=-38$ e $y=4$ è una soluzione

Le potenze di 7 terminano in modo ciclico con le due cifre 07, 49, 43, 01
la sottrazione $7^y-957$ termina con 50, 92, 86, 44

I quadrati perfetti terminano con una sequenza di coppie di cifre che hanno in comune con quanto visto sopra solo il 44
Quindi solo le soluzioni nella forma $y=4k$ sono possibili

Ma a quanto pare $y=4$ è l'unica soluzione (almeno fino a 1000 cifre)

Inoltre $\displaystyle \lim_{k\to\infty}\left \lceil \sqrt{7^{4k}-957} \right \rceil -\sqrt{7^{4k}-957}=0$

Quindi non è detto che non ci siano altre soluzioni per numeri molto grandi

[Bruno]

Tu hai un potente binocolo, Sergio, con cui ci hai fatto fare un bel giro di paesaggio

Ma per trovare la ghianda di cerro o il cono di pseudotsuga occorre anche guardare più vicino a dove camminiamo

Ora, hai già indicato un risultato importante, prova a riconsiderare i dati certi che possiedi.

[Quelo]

per $k>1$ risulta $\displaystyle \left \lceil \sqrt{7^{4k}-957} \right \rceil =7^{2k}>\sqrt{7^{4k}-957}$

Per cui $x=\pm 38$ e $y=4$ sono le uniche soluzioni

[Bruno]

È così.
Molto bene, Sergio


A me è capitato di pensarla come segue.

Di solito, è utile valutare entrambi i membri $\mod4$.
Qui è piuttosto facile farlo.
Infatti, $\,957 = 4\cdot 239+1\,$ ed è noto che qualsiasi quadrato intero è di tipo $\,4\cdot k\,$ oppure $\,4\cdot k+1$: nel nostro caso, ciò significa che $\,x\,$ è pari e il membro sinistro ha la forma $\,4\cdot m + 1\,$.
Riguardo al membro destro, invece, si può osservare che $\,7^y = (8-1)^y = 8\cdot p +(-1)^y$, per una certa $\,p$, e quindi occorre che $\,y\,$ sia pari, affinché $\,7^y\,$ si armonizzi con l'altro membro.
Il tutto si traduce in questa equazione:
$957+(2\cdot u)^2 = 7^{2\cdot v}$,
ossia:
$957 = 7^{2\cdot v} - (2\cdot u)^2 = (7^v - 2\cdot u)\cdot (7^v + 2\cdot u)$,
di conseguenza:
$1 \cdot 957 = 3 \cdot 319 = 11\cdot 87 = 29 \cdot 33 = (7^v - 2\cdot u)\cdot (7^v + 2\cdot u)$.
Si conclude facilmente che la coppia $\,11\,$ e $\,87$ individua l'unico caso in cui la semisomma dei fattori è una potenza di $\,7$, cioè:
$
y = 2\cdot v = 4, \\
x = 2\cdot u = 38.$
Chiaramente, poiché $\,38\,$ entra in un quadrato, è valido anche il suo opposto, pertanto le soluzioni cercate sono:
$
x = \pm 38, \\
y = 4.$