2021 zeri

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Moderatori: Gianfranco, Bruno

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franco
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2021 zeri

Messaggio da franco »

Esiste un intero $n$ tale per cui il suo fattoriale $n!$ sia un numero che termina con $2021$ zeri?
Se si, determinare il più piccolo valore di $n$.
Se no, determinare il più piccolo valore di $m>2021$ tale che esista almeno un intero $n$ il cui fattoriale $n!$ termini con $m$ zeri.

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A1748

Existe-t-il au moins un entier n tel que n! (factorielle de n) se termine par 2021 zéros? Si oui donner le plus petit n. Si non donner le plus petit entier m >2021 tel qu’il existe au moins un entier n de sorte que n! se termine par m zéros
Franco

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someone who does precision guesswork based on unreliable data provided by those of questionable knowledge.
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Quelo
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Re: 2021 zeri

Messaggio da Quelo »

La risposta è no, non esiste n tale che n! ha 2021 zeri finali, invece 8100! ha 2022 zeri finali

8100! mod 10^2022

Si devono contare tutti i fattori 2 e 5 nei numeri da 2 a n, ogni coppia 2-5 produce uno zero finale
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Bruno
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Re: 2021 zeri

Messaggio da Bruno »

Confermo, anche perché:

${\Large \sum_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{\log{(5)}}\rfloor} \lfloor \frac{n}{5^i}\rfloor}\; = \; 2020 ,\quad per \quad n=8099\quad$ :D


Un altro esempio:

${\Large \sum_{i=1}^{\lfloor \frac{4938280}{\log{(5)}}\rfloor} \lfloor \frac{4938280}{5^i}\rfloor}\; = \; 1234567$,

quindi esistono dei fattoriali che terminano esattamente con 1234567 zeri, e il più piccolo è 4938280!.
(Bruno)

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Quelo
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Re: 2021 zeri

Messaggio da Quelo »

Sembrerebbe che il rapporto fra n e il numero di zeri con cui termina n! sia circa 4
Ad es.
1000010! termina con 250.000 zeri
2000005! termina con 500.000 zeri
4000005! termina con 1.000.000 di zeri
8000010! termina con 2.000.000 di zeri
[Sergio]

Bruno
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Re: 2021 zeri

Messaggio da Bruno »

In effetti, Hieronymus Fischer ha stabilito un asintotico comportamento qui :wink:
(Bruno)

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