Due interi e i loro cubi

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Moderatori: Gianfranco, Bruno

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franco
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Due interi e i loro cubi

Messaggio da franco »

Formulazione un po' contorta ma sembra un problema interessante ...

Dimostrare che qualunque sia l'intero $k ≥1$,si possono trovare due interi $a$ e $b$ entrambi strettamente positivi e di $k$ cifre tali che l'intero $n$ ottenuto concatenando $a$ e $b$ separati da $k$ zeri sia pari alla somma dei cubi di $a$ e $b$.

Ad esempio, per $k=1$ abbiamo $407=4^3+7^3$
Per $k=2$, $340067=34^3+67^3$
...

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Démontrer que quel que soit l’entier k ≥1, on sait trouver deux entiers a et b strictement positifs de k chiffres l’un et l’autre tels que l’entier n obtenu par concaténation de a et de b séparés par k zéros est égal à la somme des cubes de a et de b.
Franco

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Quelo
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Re: Due interi e i loro cubi

Messaggio da Quelo »

In questo caso insieme alla domanda hai dato anche la risposta :wink:

Poniamo
$\displaystyle a=\frac{10^n+2}{3}; \quad b=\frac{2\cdot10^n+1}{3}$

Risulta
$\displaystyle a^3+b^3=\frac{(10^n+1)(10^{2n}+10^n+1)}{3}=\frac{10^n+2}{3}10^{2n}+\frac{2\cdot10^n+1}{3}=a\cdot10^{2n}+b$
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Bruno
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Re: Due interi e i loro cubi

Messaggio da Bruno »

Ottimo, ma era pressoché inevitabile che Franco ti suggerisse anche la risposta con l'esempio :D
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Bruno
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Re: Due interi e i loro cubi

Messaggio da Bruno »

A margine, ho trovato queste identità numeriche:

12² + 33² = 1233
88² + 33² = 8833
------------------------------
16³ + 50³ + 33³ = 165033
22³ + 18³ + 59³ = 221859
34³ + 10³ + 67³ = 341067
44³ + 46³ + 64³ = 444664
48³ + 72³ + 15³ = 487215
98³ + 28³ + 27³ = 982827
98³ + 32³ + 21³ = 983221

Curiosa è la presenza, anche qui, di 34 e 67.
Ma non ho visto 4 quarte potenze con basi di due cifre etc.

Paiono simpatiche pure le seguenti configurazioni:

12² + 33² = 1233
88² + 33² = 8833
990² + 100² = 990100
9412² + 2353² = 94122353
17650² + 38125² = 1765038125
25840² + 43776² = 2584043776, etc.

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Re: Due interi e i loro cubi

Messaggio da franco »

Bruno ha scritto:
dom ott 10, 2021 12:32 pm
Ottimo, ma era pressoché inevitabile che Franco ti suggerisse anche la risposta con l'esempio :D
In effetti potevo anche evitare di mettere l'esempio o, al limite, mettere solo il primo.
Quando ho trovato la soluzione per k=2 era evidente che c 'era uno schema ...
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