Sinceri e bugiardi

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franco
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Sinceri e bugiardi

Messaggio da franco »

Vi propongo un nuovo problema tratto dal sito francese diophante.fr
Spero di averlo tradotto correttamente.

Alice, Bruno, Carolina e Dario dicono la verità, indipendentemente l'uno dall'altro, con la stessa probabilità $p$ (*) e mentono con la probabilità $q=1-p$.

Alice dichiara che a Pechino piove.
Bruno commenta tale dichiarazione confermandola o confutandola (in pratica dichiara che Alice ha detto il vero oppure mente)
Carolina dichiara che Bruno ha confermato la dichiarazione di Alice.

Sulla base di tali dichiarazioni Eleonora ha calcolato che la probabilità che Alice effettivamente dica il vero sia pari a $5/6$.

Dario interviene per ultimo dichiarando che Carolina ha mentito.

Sulla base di queste quattro dichiarazioni, dedurre la probabilità che la dichiarazione di Alice sia vera.


N.B.
Sul sito non dice nulla in proposito, ma partirei dall'assunto che Alice, Bruno, Carolina e Dario siano a conoscenza del meteo a Pechino!
(*) nel testo originale del problema in questo punto è inserita l'informazione che il valore di p sia noto a Eleonora. A me sembra incongruo con le domande successive!

Alice, Bernard, Caroline et Damien disent la vérité indépendamment les uns des autres avec la même probabilité p (connue de Diophante) et mentent avec la probabilité q = 1 ‒ p.
Alice déclare qu’il pleut à Pékin.
Bernard commente cette déclaration en précisant sa nature (vraie ou fausse).
Caroline déclare que Bernard a dit qu’Alice était dans le vrai.
Sur la base de ces trois déclarations, Diophante calcule que la probabilité qu’Alice dise effectivement la vérité est égale à 5/6.
Damien intervient en dernier et déclare que Caroline a menti.
Sur la base de ces quatre déclarations, en déduire la probabilité que la déclaration d’Alice soit vraie.


ciao

G1919
www.diophante.fr
Franco

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noun. (en-juh-neer)
someone who does precision guesswork based on unreliable data provided by those of questionable knowledge.
See also wizard, magician

Pasquale
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Re: Sinceri e bugiardi

Messaggio da Pasquale »

Ci provo, vergognosamente, intanto, traducendo il testo in base ala mia interpretazione:

Premesso che i soggetti del quesito A, B, C, D possono dire il vero o il falso. con probabilità "p" per quanto riguarda la verità ed "1-p" per il falso,
abbiamo che "A" dice che a Pechino piove ed in definitiva si vuole sapere con quale probabilità abbia detto il vero, cioè che a Pechino stia veramente piovendo.

Il signor "E", persona neutrale, ci comunica, perché lo sa, che "A" , nella sua affermazione ha detto il vero con una probalità di $ \frac{5}{6}$

Ognuno poi degli altri attori (B,C,D) sa cosa accade a Pechino, e dichiara però qualcosa che può essere vero o falso, ma a noi interessano le dichiarazioni che conducano alla verità sulla pioggia di Pechino.

Dunque, considerato che A dice che piove, che B conferma o confuta quanto asserito da A, che B dice che C ha confermato (e non confutato) la dichiarazione di A, mentre D dice che C ha mentito, affinché a Pechino ci sia veramente la pioggia, necessita che:

A) dica il VERO: se A dice il vero, a Pechino piove
B) dica il VERO: se B dice il vero, dando conferma a quanto asserito da A, attribuirei anche a lui i 5/6
C) dica il VERO: se C dice il vero, conferma quanto detto da A e B ed anche a lui 5/6
D) dica il FALSO: se D dice falsamente che C ha mentito, ma gli attribuirei 1/6 di probabilità per il calcolo che interessa

Tutte le 4 condizioni contemporanee di cui sopra confermano quanto detto da A ( direi probabilità totale $\frac{5}{6 }\cdot \frac{5}{6 }\cdot \frac{5}{6 }\cdot \frac{1}{6 }\cdot$ = $\frac{125}{1296 }$ )

alla quale aggiungerei la seguente situazione:

A) dice il VERO: (5/6)
B) dice il FALSO: dicendo che A abbia mentito e dunque un altro 1/6 a favore della pioggia
C) dice il FALSO: dice falsamente che B ha confermato la dichiarazione di A, mentre al contrario l'aveva confutata falsamente (ancora 1/6)
D) dice il VERO: cioè che C ha mentito (5/6)

In sostanza, anche in questa situazione tutti concorrono ad affermare che a Pechino piove, così come affermato da A.
Quindi: $\frac{5}{6 }\cdot \frac{1}{6 }\cdot \frac{1}{6 }\cdot \frac{5}{6 }\cdot$ = $\frac{25}{1296 }$

Totale: $\frac{125}{1296 }$ + $\frac{25}{1296 }$ = $\frac{150}{1296 }$ = 11,57 % .

In definitiva, si vuole sapere con quale probabilità "A " abbia detto il vero, ma già lo sapevamo, stando al calcolo di "E".
Quindi non so, con quanto esposto sopra cosa ho calcolato.....la probabilità di pioggia a Pechino, o cos'altro?
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\text {   }ciao Immagine ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)

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