Trovar posto a un 2.

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Moderatori: Gianfranco, Bruno

Bruno
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Trovar posto a un 2.

Messaggio da Bruno »

Abbiamo un numero fatto così, nel sistema numerico usuale:

$\underbrace{111\,\cdot \cdot \cdot\,111}_{\large 1\, è \, ripetuto\, 2021\, volte}$

Numeri di questo tipo vengono spesso chiamati repunit.

Dove possiamo inserire un 2 affinché il numero risultante sia divisibile per 2021?
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Quelo
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Re: Trovar posto a un 2.

Messaggio da Quelo »

Io direi posizione 946 o 1912
[Sergio]

Bruno
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Re: Trovar posto a un 2.

Messaggio da Bruno »

Dopo quanti 1 a partire da destra (o da sinistra) ?
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delfo52
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Re: Trovar posto a un 2.

Messaggio da delfo52 »

Il quesito si presta a fraintendimenti.
la cifra "2" da inserire deve essere una soltanto?
Per "inserire" si intende che il 2 si aggiunge alle 2021 cifre, e che quindi il numero che cerchiamo è composto da 2022 cifre?
Enrico

Bruno
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Re: Trovar posto a un 2.

Messaggio da Bruno »

Dove possiamo inserire un 2 affinché il numero risultante sia divisibile per 2021?

Il 2 da inserire è uno solo, Enrico, e quindi si aggiunge alle 2021 cifre, ottenendo così un numero di 2022 cifre, il quale deve essere divisibile per 2021 ;)
Potrebbe non esserci un'unica risposta.
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Quelo
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Re: Trovar posto a un 2.

Messaggio da Quelo »

Se non ho sbagliato i calcoli, si può inserire il 2 dopo 945 cifre 1 partendo da destra oppure dopo 1911

Un numero repunit di $n$ cifre può essere scritto come $\displaystyle \frac{10^n-1}{9}$
Per inserire un 2 dopo $m$ cifre da destra, aggiungiamo prima un 1 e poi sommiamo $10^m$

$a=\displaystyle \frac{10^{2022}-1}{9}+10^m$

$\displaystyle \frac{10^{2022}-1}{9}$ appartiene alla classe di resto $[429] \pmod{2021}$

Perché $a$ sia divisibile per 2021, $10^m$ deve appartenere alla classe di resto $[1592] \pmod{2021}$ ossia $m=966k+945$

Per cui $\displaystyle \frac{10^{2022}-1}{9}+10^{945} = \underbrace{111...111}_\text{1076 cifre}2\underbrace{111...111}_\text{945 cifre} \equiv 0 \pmod{2021}$
verifica

ma anche $\displaystyle \frac{10^{2022}-1}{9}+10^{1911} = \underbrace{111...111}_\text{110 cifre}2\underbrace{111...111}_\text{1911 cifre} \equiv 0 \pmod{2021}$
verifica
[Sergio]

Bruno
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Re: Trovar posto a un 2.

Messaggio da Bruno »

Non hai sbagliato i calcoli, Sergio: perfetto :D
(Bruno)

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Re: Trovar posto a un 2.

Messaggio da Info »

Unica cosa da segnalare Bruno,
un numero di n+1 uni sarebbe $\frac{10^{n+2}-1}{9}$
a questo devo poi aggiungere $10^k$ per trasformare un uno in un due,
in modo tale da averlo inserito al numero di partenza (-;
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Bruno
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Re: Trovar posto a un 2.

Messaggio da Bruno »

Grazie, Info: un numero di $n$ cifre uguali a $1$ è dato da $\frac{10^n-1}{9}$ ;)

Infatti, Sergio è partito da un numero di $2021$ cifre ma, prima di aggiungere un $1$ per collocare il $2$, ha correttamente portato quel numero a $2022$ cifre.
(Bruno)

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Re: Trovar posto a un 2.

Messaggio da Info »

Si, hai ragione.... avevo pensato ad un $\frac{10^{2023}-1}{9}$ ma effettivamente
sarebbe una sequenza di 2023 uno, anche se dell'ordine di $10^{2022}$
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Pasquale
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Re: Trovar posto a un 2.

Messaggio da Pasquale »

Troppo forti :shock:

Propongo di seguito una variante più semplice:
fra tutte le sequenze di 1 lunghe da 4 a 1000, è possibile trovarne qualcuna in cui inserire un 7 in opportuna posizione, in modo che la sequenza sia divisibile per 4321 ?
In caso positivo, indicare la sequenza con la posizione del 7.
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Re: Trovar posto a un 2.

Messaggio da Quelo »

Ce ne sono 119

La più breve è 111111111111111111111111111111111111111111117111111111111111111111111111111111
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Pasquale
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Re: Trovar posto a un 2.

Messaggio da Pasquale »

:wink: Giusto...sono davvero tante !
Tuttavia, cambiando il divisore 4321 con altro anche di 4 cifre, è possibile trovarne qualcuno, tale che le soluzioni siano molto più numerose?
Quale potrebbe essere il divisore vincitore, fautore del maggior numero di soluzioni ? :shock: :mrgreen:
Ultima modifica di Pasquale il mar ott 05, 2021 7:10 pm, modificato 1 volta in totale.
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Re: Trovar posto a un 2.

Messaggio da Quelo »

Fino a 500 cifre vince 4093 con 506 risultati, io punterei su di lui
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Bruno
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Re: Trovar posto a un 2.

Messaggio da Bruno »

Quelo ha scritto:
dom ott 03, 2021 2:56 pm
Ce ne sono 119

La più breve è 111111111111111111111111111111111111111111117111111111111111111111111111111111

Faccio un passo indietro :D

Possiamo dire che esistono numeri di questo tipo con il 7 in testa (cioè $\,$ 7111···111) e divisibili per 4321: $\,$ è così ?
Possiamo dire che non ne esiste nemmeno uno con il 7 in coda, invece, il quale sia divisibile per 4321: $\,$ perché ?
(Bruno)

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