Trovar posto a un 2.

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Moderatori: Gianfranco, Bruno

Quelo
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Re: Trovar posto a un 2.

Messaggio da Quelo »

Ho dato per buono che con inserire si intendesse una posizione intermedia, quindi quelli con il 7 in testa è coda non li ho proprio cercati
[Sergio]

Bruno
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Re: Trovar posto a un 2.

Messaggio da Bruno »

Ma certo, Sergio, è una variante questa ;)
(Bruno)

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Quelo
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Re: Trovar posto a un 2.

Messaggio da Quelo »

Per il primo caso entro le 1000 cifre ce ne è 1:
7111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111

Per il secondo caso possiamo dire che:
1. $\displaystyle x=\frac{10^n-1}{9}+6 \simeq \frac{10^n}{9}$ per n grande, quindi il quoziente di $\displaystyle \frac{x}{4321}$ è circa $\displaystyle 10^n\frac{1}{9*4321}$
2. il quoziente termina per 7

1/38889=0.0000257142122... ha un periodo di 1036 cifre che contiene 106 volte il numero 7, es:
257
25714212245107
2571421224510787
25714212245107871120368227
257142122451078711203682275193499447
2571421224510787112036822751934994471444367
2571421224510787112036822751934994471444367301807
25714212245107871120368227519349944714443673018077
...

Proviamo a moltiplicare tutti questi numeri per 4321, ognuno risultato è composto da tutti 1 per le prim n-5 cifre, ma nessuno di questi termina per 11117
Andando avanti la sequenza si ripete e così anche le cifre terminali
[Sergio]

Pasquale
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Re: Trovar posto a un 2.

Messaggio da Pasquale »

Eh, il fatto è che nella sua semplicità il problema richiede tempo e soltanto l'esplorazione completa potrebbe dare la medaglia al miglior divisore.
Le sorprese non sono rare.
Ad esempio, il 4093 testato fino a 500 numeri 1, se testato per tutti i 1000, produce ben 2025 risultati validi. che aumenterebbero aggiungendo il 7 all'inizio.
Comunque, direi che non vale la pena di andare oltre, salvo il quesito di Bruno sul 7 finale.
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Bruno
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Re: Trovar posto a un 2.

Messaggio da Bruno »

Bene, Sergio, molto bene.

Mi sono fatto la domanda sulle posizioni estreme di 7 e così ho scoperto che, se il 7 è in coda, non ci sono multipli di 4321.
Per stabilire questo ho applicato QSC (Qualche Semplice Congruenza) e scomposto 4321 in 29 e 149.
In $\frac{10 \cdot (10^n-1)}{9}+\small 7$ non è difficile riconoscere (con QSC) che $\small n$ deve avere la forma $\small 28\cdot h+17$ affinché quell'espressione sia divisibile per 29; mentre essa è divisibile per 149 se $\small n$ ha la forma $\small 148\cdot k+107$. Ora, però, 107-17 = 90 non è divisibile per 4 (che invece divide 28 e 148), quindi $\small n$ non può avere entrambe le forme indicate.



Pasquale ha scritto:
mer ott 06, 2021 2:00 am
Comunque, direi che non vale la pena di andare oltre ...
Perché no?
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Pasquale
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Re: Trovar posto a un 2.

Messaggio da Pasquale »

Perché ho lavorato col Decimal Basic, tanto per il gusto di metter su qualche routine, ma con tempi di attesa troppo lunghi per ognuno dei divisori fra 1000 e 9999, trovando ogni tanto qualche divisore migliore dei precedenti. Ho realizzato che il p.c. sarebbe andato in fumo. :shock:
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Quelo
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Re: Trovar posto a un 2.

Messaggio da Quelo »

@Bruno Ero sicuro che ci fosse una dimostrazione più elegante della mia :wink:

@Pasquale Con 4093 sono arrivato fino a 850 cifre, ma mi sono reso conto che già a 200 cifre si delineano i candidati alla vittoria finale, così che si può proseguire testando solo quelli.
Su questo assunto ho cercato i campioni per tutte le altre cifre oltre al 7 che possiamo inserire (da 2 a 9), questo è il risultato:

Codice: Seleziona tutto

cifra	divis.	quantità
2	1111	1225

3	5799	1128
3	1933	1128
3	1409	1024

4	4187	2926
4	1233	1722

5	1241	1953
5	2329	1953
5	1233	1750

6	1241	1953
6	2223	1540

7	4093	2025
7	1673	1452
7	2151	1112

8	3133	1156
8	1209	1122
8	1409	992

9	1183	2145
9	8779	2070
9	2457	1577
[Sergio]

Bruno
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Re: Trovar posto a un 2.

Messaggio da Bruno »

Sergio, mi fa molto piacere che tu stia dando linfa al quesito di Pasquale ;)
(Bruno)

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Re: Trovar posto a un 2.

Messaggio da Quelo »

Estensione del quesito:

Esiste un numero formato da sole cifre 1 più una cifra diversa da 1 che sia divisibile per 2431?
[Sergio]

Bruno
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Re: Trovar posto a un 2.

Messaggio da Bruno »

Quelo ha scritto:
gio ott 07, 2021 5:57 pm
Esiste un numero formato da sole cifre 1 più una cifra diversa da 1 che sia divisibile per 2431?

1111111111110111111 = 2431·457059280588281, ...
1111111112111 = 2431·457059281, ...

:D
(Bruno)

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Re: Trovar posto a un 2.

Messaggio da Quelo »

Ottimo Bruno.

Possiamo anche fare alcune considerazioni, ad esempio che nessun numero con le cifre da 3 a 9 può essere multiplo d 2431 e che con le cifre 0 e 2 il numero deve avere cifre dispari, con lo 0 in posizione dispari o il 2 in posizione pari
[Sergio]

Bruno
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Re: Trovar posto a un 2.

Messaggio da Bruno »

Certo.

A margine, per lo stesso numero di 1, ci possono essere più soluzioni. Per esempio:

1111111111111111111111111111111111111111111111111111111111110111111,
1111111111110111111111111111111111111111111111111111111111111111111;

1111111111111111111111111111111111111111111111111111111112111,
1111111112111111111111111111111111111111111111111111111111111;

etc.
(Bruno)

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Pasquale
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Re: Trovar posto a un 2.

Messaggio da Pasquale »

:shock: Ragazzi, siete forti e volenterosi.
E' proprio per questo che chiedo se e per quante volte sia possibile dividere per 2341 le 1000 sequenze di 1 , inserendo questa volta il numero ......... :mrgreen: 2341 :D
Ultima modifica di Pasquale il mar ott 12, 2021 11:42 am, modificato 1 volta in totale.
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Re: Trovar posto a un 2.

Messaggio da Quelo »

E' quantomeno bizzarro che siano esattamente 234
[Sergio]

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