Qual è il più grande?

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Moderatori: Gianfranco, Bruno

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Quelo
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Qual è il più grande?

Messaggio da Quelo »

$\displaystyle \Large 8^{8^8} \; \text{o}\;\; (888888!)^\pi$
[Sergio]

franco
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Re: Qual è il più grande?

Messaggio da franco »

Direi che è più grande il secondo.

Ho usato i logaritmi e fatto qualche ragionamento che riporto direttamente dal quaderno.
piu-grande.PNG
piu-grande.PNG (187.63 KiB) Visto 378 volte
non ci metto la mano sul fuoco :)

ciao
Franco

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someone who does precision guesswork based on unreliable data provided by those of questionable knowledge.
See also wizard, magician

Quelo
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Re: Qual è il più grande?

Messaggio da Quelo »

Ottimo Franco.
L'integrale è una buona approssimazione, sufficiente ai fini del problema.
[Sergio]

Bruno
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Re: Qual è il più grande?

Messaggio da Bruno »

A me è invece capitato di applicare direttamente una limitazione abbastanza nota, utilizzata per stimare i fattoriali (anche nell'ambito dell'approssimazione di Stirling):

$n! \geq e\cdot \left ({\Large \frac{n}{e}} \right )^n$.

Pertanto, passando ai logaritmi naturali, ho valutato se il membro destro di questa limitazione

$ \log_e (888888!)^{\Large \pi} \geq \log_e \left [e\cdot \left ({\Large \frac{888888}{e}} \right )^{888888}\right ]^{\Large\pi} = \pi + \pi \cdot 888888\cdot ( \log_e 888888 -1) \approx 3.545... \cdot 10^7$

fosse maggiore di

$\log_e 8^{8^8} \approx 3.488... \cdot 10^7$

e ho ottenuto precisamente la conclusione di Franco.
(Bruno)

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l'ha apena sfioragia
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e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
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Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}

Quelo
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Re: Qual è il più grande?

Messaggio da Quelo »

Ottimo anche l'approccio di Bruno
La mia soluzione era quella di Franco, ma dopo aver letto quella di Bruno ho trovato una strada ulteriore

$\displaystyle n! \simeq \left (\frac{n}{e} \right)^n \sqrt{2\pi n}$

$\displaystyle \sqrt[\Large n\,]{n!} \simeq \frac{n}{e} \sqrt[\Large n\,]{\sqrt{2\pi n}} \simeq \frac{n}{e}$ (per n grande l'ultimo termine tende a 1)

$\displaystyle \sqrt[\Large 888888\pi\,]{(888888!)^\pi} \simeq \frac{888888}{e} = 327003,6$

$\displaystyle \sqrt[\Large 888888\pi\,]{8^{8^8}} = 8^{\large \left(\frac{16777216}{888888\pi}\right)} \simeq 8^6=262144$
[Sergio]

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