Anche con carta e penna.

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Moderatori: Gianfranco, Bruno

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Bruno
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Anche con carta e penna.

Messaggio da Bruno »

2133121³¹ + 9997888¹⁹ $\;\;$ è primo ?
(Bruno)

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franco
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Re: Anche con carta e penna.

Messaggio da franco »

risponderei "probabilmente no" :)
parliamo di un numero di oltre 200 cifre e da quelle parti i primi sono abbastanza rarefatti :D
Franco

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noun. (en-juh-neer)
someone who does precision guesswork based on unreliable data provided by those of questionable knowledge.
See also wizard, magician

Bruno
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Re: Anche con carta e penna.

Messaggio da Bruno »

:mrgreen: :D
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delfo52
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Re: Anche con carta e penna.

Messaggio da delfo52 »

però, se non vado errato, il numero termina con "3". la cosa aumenta la probabilità di essere primo...
Enrico

Quelo
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Re: Anche con carta e penna.

Messaggio da Quelo »

Mi avventuro nell'aritmetica modulare che non è il mio campo:
$a=2133121^{31}; \quad b=9997888^{19}$

Sappiamo che la somma di due classi di resto modulo n restituisce una classe di resto modulo n che è la somma dei due resti
$[ra]+[rb]=[ra+rb]$

Proviamo alcuni numeri primi:

$p=2 \begin{cases}
2133121 \equiv 1 \pmod{2} \Rightarrow a \equiv 1^{31} \pmod{2} \\
9997888 \equiv 0 \pmod{2} \Rightarrow b \equiv 0^{19} \pmod{2} \\
a+b \equiv 1 \pmod{2} \quad \text{non è multiplo di 2} \\
\end{cases}$

$p=3 \begin{cases}
2133121 \equiv 1 \pmod{3} \Rightarrow a \equiv 1^{31} \pmod{3} \\
9997888 \equiv 1 \pmod{3} \Rightarrow b \equiv 1^{19} \pmod{3} \\
a+b \equiv 2 \pmod{3} \quad \text{non è multiplo di 3} \\
\end{cases}$

$p=5 \begin{cases}
2133121 \equiv 1 \pmod{5} \Rightarrow a \equiv 1^{31} \pmod{5} \\
9997888 \equiv 3 \pmod{5} \Rightarrow b \equiv 3^{19} \pmod{5} \Rightarrow b \equiv 2 \pmod{5}\;({}^*)\\
a+b \equiv 3 \pmod{5} \quad \text{non è multiplo di 5} \\
\end{cases}$

(*) Le potenze di 3 terminano con 3, 9, 7, 1 in modo ciclico, quindi $3^{19}$ termina con 7 e diviso per 5 dà resto 2

$p=11 \begin{cases}
2133121 \equiv 1 \pmod{11} \Rightarrow a \equiv 1^{31} \pmod{11} \\
9997888 \equiv 10 \pmod{11} \Rightarrow b \equiv 10^{19} \pmod{11} \Rightarrow b \equiv 10 \pmod{11}\;({}^{**}) \\
a+b \equiv 11 \pmod{11} \quad \text{è multiplo di 11 e quindi non primo} \\
\end{cases}$

(**) $10^n+1$ con n dispari è divisibile per 11 (la differenza tra la somma delle cifre di posto dispari e quella delle cifre di posto pari è 0) di conseguenza $10^n$ diviso 11 dà resto 10

Per comodità mi sono limitato ai fattori primi di 2133120, manca solo 101 che è anch'esso divisore di a+b

SE&O
[Sergio]

Bruno
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Re: Anche con carta e penna.

Messaggio da Bruno »

Benissimo, Sergio, grazie di aver condiviso il tuo percorso ;)
(Bruno)

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