Anche con carta e penna.
Moderatori: Gianfranco, Bruno
Questo forum è una sezione del PORTALE DI BASE CINQUE
Anche con carta e penna.
2133121³¹ + 9997888¹⁹ $\;\;$ è primo ?
(Bruno)
...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
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{Rudi Mathematici}
Re: Anche con carta e penna.
risponderei "probabilmente no"
parliamo di un numero di oltre 200 cifre e da quelle parti i primi sono abbastanza rarefatti
parliamo di un numero di oltre 200 cifre e da quelle parti i primi sono abbastanza rarefatti
Franco
ENGINEER
noun. (en-juh-neer)
someone who does precision guesswork based on unreliable data provided by those of questionable knowledge.
See also wizard, magician
ENGINEER
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Re: Anche con carta e penna.
(Bruno)
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Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
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{Rudi Mathematici}
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sospension d'un momento;
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{Biagio Marin}
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{Rudi Mathematici}
Re: Anche con carta e penna.
però, se non vado errato, il numero termina con "3". la cosa aumenta la probabilità di essere primo...
Enrico
Re: Anche con carta e penna.
Mi avventuro nell'aritmetica modulare che non è il mio campo:
$a=2133121^{31}; \quad b=9997888^{19}$
Sappiamo che la somma di due classi di resto modulo n restituisce una classe di resto modulo n che è la somma dei due resti
$[ra]+[rb]=[ra+rb]$
Proviamo alcuni numeri primi:
$p=2 \begin{cases}
2133121 \equiv 1 \pmod{2} \Rightarrow a \equiv 1^{31} \pmod{2} \\
9997888 \equiv 0 \pmod{2} \Rightarrow b \equiv 0^{19} \pmod{2} \\
a+b \equiv 1 \pmod{2} \quad \text{non è multiplo di 2} \\
\end{cases}$
$p=3 \begin{cases}
2133121 \equiv 1 \pmod{3} \Rightarrow a \equiv 1^{31} \pmod{3} \\
9997888 \equiv 1 \pmod{3} \Rightarrow b \equiv 1^{19} \pmod{3} \\
a+b \equiv 2 \pmod{3} \quad \text{non è multiplo di 3} \\
\end{cases}$
$p=5 \begin{cases}
2133121 \equiv 1 \pmod{5} \Rightarrow a \equiv 1^{31} \pmod{5} \\
9997888 \equiv 3 \pmod{5} \Rightarrow b \equiv 3^{19} \pmod{5} \Rightarrow b \equiv 2 \pmod{5}\;({}^*)\\
a+b \equiv 3 \pmod{5} \quad \text{non è multiplo di 5} \\
\end{cases}$
(*) Le potenze di 3 terminano con 3, 9, 7, 1 in modo ciclico, quindi $3^{19}$ termina con 7 e diviso per 5 dà resto 2
$p=11 \begin{cases}
2133121 \equiv 1 \pmod{11} \Rightarrow a \equiv 1^{31} \pmod{11} \\
9997888 \equiv 10 \pmod{11} \Rightarrow b \equiv 10^{19} \pmod{11} \Rightarrow b \equiv 10 \pmod{11}\;({}^{**}) \\
a+b \equiv 11 \pmod{11} \quad \text{è multiplo di 11 e quindi non primo} \\
\end{cases}$
(**) $10^n+1$ con n dispari è divisibile per 11 (la differenza tra la somma delle cifre di posto dispari e quella delle cifre di posto pari è 0) di conseguenza $10^n$ diviso 11 dà resto 10
Per comodità mi sono limitato ai fattori primi di 2133120, manca solo 101 che è anch'esso divisore di a+b
SE&O
$a=2133121^{31}; \quad b=9997888^{19}$
Sappiamo che la somma di due classi di resto modulo n restituisce una classe di resto modulo n che è la somma dei due resti
$[ra]+[rb]=[ra+rb]$
Proviamo alcuni numeri primi:
$p=2 \begin{cases}
2133121 \equiv 1 \pmod{2} \Rightarrow a \equiv 1^{31} \pmod{2} \\
9997888 \equiv 0 \pmod{2} \Rightarrow b \equiv 0^{19} \pmod{2} \\
a+b \equiv 1 \pmod{2} \quad \text{non è multiplo di 2} \\
\end{cases}$
$p=3 \begin{cases}
2133121 \equiv 1 \pmod{3} \Rightarrow a \equiv 1^{31} \pmod{3} \\
9997888 \equiv 1 \pmod{3} \Rightarrow b \equiv 1^{19} \pmod{3} \\
a+b \equiv 2 \pmod{3} \quad \text{non è multiplo di 3} \\
\end{cases}$
$p=5 \begin{cases}
2133121 \equiv 1 \pmod{5} \Rightarrow a \equiv 1^{31} \pmod{5} \\
9997888 \equiv 3 \pmod{5} \Rightarrow b \equiv 3^{19} \pmod{5} \Rightarrow b \equiv 2 \pmod{5}\;({}^*)\\
a+b \equiv 3 \pmod{5} \quad \text{non è multiplo di 5} \\
\end{cases}$
(*) Le potenze di 3 terminano con 3, 9, 7, 1 in modo ciclico, quindi $3^{19}$ termina con 7 e diviso per 5 dà resto 2
$p=11 \begin{cases}
2133121 \equiv 1 \pmod{11} \Rightarrow a \equiv 1^{31} \pmod{11} \\
9997888 \equiv 10 \pmod{11} \Rightarrow b \equiv 10^{19} \pmod{11} \Rightarrow b \equiv 10 \pmod{11}\;({}^{**}) \\
a+b \equiv 11 \pmod{11} \quad \text{è multiplo di 11 e quindi non primo} \\
\end{cases}$
(**) $10^n+1$ con n dispari è divisibile per 11 (la differenza tra la somma delle cifre di posto dispari e quella delle cifre di posto pari è 0) di conseguenza $10^n$ diviso 11 dà resto 10
Per comodità mi sono limitato ai fattori primi di 2133120, manca solo 101 che è anch'esso divisore di a+b
SE&O
[Sergio] / $17$
Re: Anche con carta e penna.
Benissimo, Sergio, grazie di aver condiviso il tuo percorso
(Bruno)
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