Il rapporto.

[Bruno]

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Poscritto: il quesito, da me lievemente modificato (ho invertito il rapporto), è stato postato in un "social" dall'ingegnere iraniano Omid Motahed.

[Pasquale]

Se non vado errato, il rapporto cercato sarebbe 2.
Facendo riferimento ad un quadrato da 20x20, c'è da lavorare un po' per determinare l'area del triangolo rettangolo di colore viola ( 100/3), da cui l'area del quadrilatero verde come differenza fra tutta l'area colorata (100) e la suddetta di 100/3; quindi 200/3. Tutta l'area colorata è data da quella del trapezio rettangolo che la contiene (300) meno quella di mezzo quadrato (200). In definitiva, il rapporto cercato è pari a 200/3 : 100/3 = 2.
Per il procedimento è sufficiente tracciare l'altezza relativa al lato maggiore del triangolo colorato (diagonale del quadrato).

[Quelo]

rapporto.png (21.91 KiB) Visto 7428 volte

$\displaystyle A_{ACE}=A_{AGD}$

$\displaystyle \alpha=\arctan{\frac{\overline{DE}}{\overline{AD}}}=\arctan{\frac12}$

$\displaystyle \beta=\frac{\pi}{4}-\alpha$

$\displaystyle \frac{\overline{FG}}{\overline{DG}}=\tan{\beta}=\frac13$

$\displaystyle A_{AFG}=\frac{\overline{AG}\cdot\overline{FG}}{2}=\frac{A_{AGD}}{3}$

$\displaystyle A_{CEFG}=A_{ACE}-A_{AFG}=\frac{2A_{AGD}}{3}$

$\displaystyle \frac{A_{CEFG}}{A_{AFG}}=2$

[Bruno]

(...) c'è da lavorare un po' per determinare l'area del triangolo rettangolo di colore viola ( 100/3)

Mi sarebbe piaciuto, Pasquale, vedere il tuo lavoro che leggerti in prosa


Molto bene, Sergio

[Bruno]

A me è capitato di pensarla così:

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[Quelo]

Bello ed elegante.

Bravo!

[Pasquale]

Anche a me sarebbe piaciuto, ma per problemi "informatici" ed a titolo di partecipazione, ho potuto esprimermi "sinteticamente" in quel modo, spero comprensibile.

[Bruno]

Va bene, Pasquale

[franco]

Io avevo pensato così (facendo riferimento a un quadrato di lato unitario e alle lettere di cui al disegno di Sergio).

Il triangolo ACD ha superficie pari a 1/2
Il triangolo ACE ha superficie pari ad un mezzo del precedente e quindi pari a 1/4

Il triangolo AGD ha superficie pari a 1/4.
Il triangolo AGF ha superficie pari ad un terzo del precedente e quindi pari a 1/12

La superficie del quadrilatero GCEF è pari alla differenza fra quelle dei triangoli ACE e AGF e quindi pari a 1/6

(1/6)/(1/12) = 2

[Bruno]

Ottimo, Franco