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Bruno
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Messaggio da Bruno »

Dimostrare che l'equazione:

$\large 3^x\, = \,2^y+1$

non possiede soluzioni intere oltre a (x, y) = (1, 1) e (x, y) = (2, 3).
(Bruno)

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Re: Questo mi è piaciuto.

Messaggio da Gianfranco »

Telegrafico.
$3^n-1 \mod 8$ versus $2^n \mod 8$
$3^n-1 \mod 6$ versus $2^n \mod 6$

Ragionamento veloce, potrei aver sbagliato.

P.S. Qualcuno ha detto che la soluzione è 42.
In effetti:
$4\cdot2=8$
$4+2=6$
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

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Re: Questo mi è piaciuto.

Messaggio da Bruno »

Non ho capito, Gianfranco :roll: forse sei stato troppo telegrafico per la mia sveltezza mentale :mrgreen:

Ps1 --- Mi pare che in entrambi i casi ci siano dei resti comuni...
Ps2 --- Questo problemino si presta a vari approcci :wink:
(Bruno)

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Re: Questo mi è piaciuto.

Messaggio da Gianfranco »

Giusto, ho considerato x e y naturali, invece vedo che sono interi. Devo aggiungere qualcosa al ragionamento per gli interi negativi.
Comunque, per i valori interi non-negativi, il ragionamento è questo.

$3^n-1 \mod 8$ versus $2^n \mod 8$

Per n dispari >=3
$3^n-1 \mod 8=2$
$2^n \mod 8=0$

Quindi non esiste nessun x dispari maggiore di 1 tale che:
$3^x-1 =2^y$
con x e y entrambi interi >=0

Per n pari considero il mod 6

=============
Se x e y possono essere anche interi negativi, allora si possono considerare i casi rimanenti:
x y
+ -
- +
- -
In ogni caso (escludendo l'esponente 0) il primo membro dell'equazione
$3^x-2^y=1$
contiene un intero e un decimale oppure due decimali minori di 1, perciò la loro differenza non può essere 1.

Salvo erori & ommisioni.
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

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Re: Questo mi è piaciuto.

Messaggio da Info »

Io ho ragionato così:

$3^x=2^y+1$

vediamo di ragionare con y,
se è pari
$(2^y+1)\ mod\ 3=2$
$(3^x)\ mod\ 3=0$

quindi 0=2 che è impossibile

se è dispari
$(2^y+1)\ mod\ 3=0$

quindi 0=0, ok y è dispari

provando a sostituire noto che y può essere solo 1 o 3
per verificare l'equazione....
con i numeri superiori non trovo una potenza di 3 per
verificare l'equazione, anche se sono comunque di
sicuro tutti multipli di 3

y=1 2+1=3 x=1
y=3 8+1=9 x=2
y=5 32+1=33 non è una potenza di 3 negli interi
y=7 128+1=129 ancora non è una potenza di 3...

rimane da dimostrare....
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Re: Questo mi è piaciuto.

Messaggio da Bruno »

Gianfranco ha scritto:
gio set 09, 2021 12:18 pm

Per n pari considero il mod 6

Gianfranco, perdonami :roll:
Mentre il primo caso è evidente perché dopo y=2 la seconda congruenza è sempre nulla, nel secondo caso tu potresti avere, con x pari, y dispari e la faccenda non è poi così ovvia... o mi sfugge qualcosa nella tua strategia?


Info, se vorrai completare il tuo ragionamento, saremo ben lieti di leggerti ;)
(Bruno)

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Re: Questo mi è piaciuto.

Messaggio da Info »

ciao Bruno, grazie.... ehm.... diciamo che ieri non ho avuto tempo di ricontrollare.....
mancava effettivamente un passaggio sui logaritmi che
non ho scritto

siamo arrivati a verificare che y e`dispari
proseguo da li

essendo y dispari posso effettuare una sostituzione,
questo per poter assegnare a questa nuova variabile
qualsiasi valore intero

$y=(2n+1)$

a questo punto posso sostituire nell'equazione principale,
quindi posso scrivere

$3^x=2^{2n+1}+1$
$3^x=2*4^n+1$
$3^x-1=2*4^n$

adesso devo ricavare n:

$n=\frac{log(\frac{3^x-1}{2})}{log(4)}$
$n=\frac{log(3^x-1)-log(2)}{log(4)}$
$n=\frac{log(3^x-1)}{log(4)}-0.5$

adesso abbiamo n, che puo' assumere qualsiasi valore intero.

anche x deve essere intero
x non puo`essere 0 perche`tornando all'equazione principale non sarebbe verificata
$1=2^y+1$ solo con $y=-\infty$ non mi sembra proprio intero....

e per avere n intero puo' assumere solo i valori 1 e 2

scusami Bruno mancava un passaggio, forse con il logaritmo sembra piu' chiaro ((-;
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Re: Questo mi è piaciuto.

Messaggio da Gianfranco »

Bruno ha scritto:
ven set 10, 2021 9:06 am
Mentre il primo caso è evidente perché dopo y=2 la seconda congruenza è sempre nulla, nel secondo caso tu potresti avere, con x pari, y dispari e la faccenda non è poi così ovvia... o mi sfugge qualcosa nella tua strategia?
Per QUALUNQUE n>0
$3^n-1 \mod 6=2$

Per n PARI >=2
$2^n \mod 6=4$

Quindi non esiste nessun y pari >=2 tale che:
$3^x-1 =2^y$
con x intero >0

Però hai ragione, questa è mal coordinata con quella dell'8 perché là si parla di x dispari e qui di y pari. Da rivedere.
L'inghippo è che volevo usare a tutti i costi i numeri 8 e 6.
Se non può funzionare, butta tutto nel cestino.
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

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Re: Questo mi è piaciuto.

Messaggio da Bruno »

Gianfranco ha scritto:
ven set 10, 2021 12:42 pm
(...) Da rivedere.
L'inghippo è che volevo usare a tutti i costi i numeri 8 e 6.

Il caso rimanente, in effetti, traducendolo così:

$9^{\Large r}-1 \mod 6 \\ 2\cdot 4^{\Large s} \mod 6$
non porge nulla di agevole, pare :roll:
(Bruno)

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Re: Questo mi è piaciuto.

Messaggio da Quelo »

Indagando le potenze di 2 ho scoperto quanto segue:

$\displaystyle \large 2^{3^n}+1=3^{n+1} \cdot (9k+1)$

es:
$\displaystyle \large 2^{3^0}+1=3^1$
$\displaystyle \large 2^{3^1}+1=3^2$
$\displaystyle \large 2^{3^2}+1=3^3 \cdot 19$
$\displaystyle \large 2^{3^3}+1=3^4 \cdot 19 \cdot 87211$
$\displaystyle \large 2^{3^4}+1=3^5 \cdot 19 \cdot 163 \cdot 87211 \cdot 135433$
$\displaystyle \large 2^{3^5}+1=3^6 \cdot 19 \cdot 163 \cdot 1459 \cdot 87211 \cdot 135433 \cdot 272010961 \cdot 10429407431911334611 \cdot 918125051602568899753$
$\displaystyle \large 2^{3^6}+1=3^7 \cdot 19 \cdot 163 \cdot 1459 \cdot 87211 \cdot 135433 \cdot 139483 \cdot 227862073 \cdot 272010961 \cdot 3110690934667 \cdot 899682352280478828712680301605268454360277600633219338753305281809119869964710353995443351521706560602856647574424968683450082818294121034386940345434429862274654147$
Ultima modifica di Quelo il dom set 12, 2021 8:21 am, modificato 3 volte in totale.
[Sergio]

Bruno
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Re: Questo mi è piaciuto.

Messaggio da Bruno »

Bello :D
(Bruno)

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Re: Questo mi è piaciuto.

Messaggio da Quelo »

Questo è curioso, i fattori primi di k hanno radice numerica uguale a 1

1+9=10
1+6+3=10
1+4+5+9=19
8+7+2+1+1=19
1+3+5+4+3+3=19
1+3+9+4+8+3=28
2+2+7+8+6+2+0+7+3=37
2+7+2+0+1+0+9+6+1=28
3+1+1+0+6+9+0+9+3+4+6+6+7=55
1+0+4+2+9+4+0+7+4+3+1+9+1+1+3+3+4+6+1+1=64
9+1+8+1+2+5+0+5+1+6+0+2+5+6+8+8+9+9+7+5+3=100
8+9+9+6+8+...+5+4+1+4+7=730
[Sergio]

Bruno
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Re: Questo mi è piaciuto.

Messaggio da Bruno »

Fantastico, Sergio :D

A me è capitato di affrontare l'equazione senza le congruenze.
Limitandomi alla ricerca di eventuali soluzioni maggiori di x=2 e y=3, ho considerato la doppia uguaglianza:
3ˣ - 1 = 2·(3ˣ⁻¹ + 3ˣ⁻² + 3ˣ⁻³ + ... + 3² + 3 + 1) = 2ʸ (con y>3)
dalla quale ho dedotto facilmente che x è pari, perché altrimenti la somma fra parentesi sarebbe dispari.
Quindi ho posto x = 2·w, ottenendo:
9ʷ - 1 = 8·(9ʷ⁻¹ + 9ʷ⁻² + 9ʷ⁻³ + ... + 9² + 9 + 1) = 2ʸ
e qui ho concluso che anche w è pari (per la stessa ragione vista sopra), pertanto ho assunto w = 2·t, in tal modo:
81ᵗ - 1 = 80·(81ᵗ⁻¹ + 81ᵗ⁻² + 81ᵗ⁻³ + ... + 81² + 81 + 1) = 2ʸ.
Questo risultato, però, rivela che 2ʸ è un multiplo di 5, ciò che naturalmente non può essere.

Chiaramente, le considerazioni di Gianfranco sugli esponenti anche negativi sono opportune e corrette.

Il problema è stato proposto da Domenico Annunziata in un "social".

Le annotazioni di Sergio mostrano che c'è qualcosa di più in pentola... :wink:



Quelo ha scritto:
sab set 11, 2021 1:01 pm
Questo è curioso, i fattori primi di k hanno radice numerica uguale a 1
Qui, Sergio, in realtà ti riferisci a 9·k+1, giusto?
Ho visto che hai fatto una modifica nell'intervento di ieri l'altro...
(Bruno)

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Re: Questo mi è piaciuto.

Messaggio da Quelo »

Bruno ha scritto:
dom set 12, 2021 3:10 pm
Qui, Sergio, in realtà ti riferisci a 9·k+1, giusto?
Ho visto che hai fatto una modifica nell'intervento di ieri l'altro...
Sì esatto, il secondo fattore, quello non potenza di 3, è nella forma 9k+1 e di conseguenza ha radice numerica 1
Inoltre è formato dal prodotto di fattori primi, tutti nella forma 9k+1
Chiaramente è una congettura ma è verificata per tutti gli esempi di cui sopra
[Sergio]

panurgo
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Re: Questo mi è piaciuto.

Messaggio da panurgo »

Questo è piaciuto anche a me.

Ho provato due linee di attacco: la prima parte dalla rappresentazione binaria delle potenze di $3$.
La rappresentazione binaria di una potenza di due, $2^y$, è

$\displaystyle \mathtt{1}\underbrace{\mathtt{0}\cdots \mathtt{0}}_y$

quindi, la rappresentazione di $3^x=2^y+1$ è

$\displaystyle \mathtt{1}\underbrace{\mathtt{0}\cdots \mathtt{0}}_{y-1}\mathtt{1}$

Scriviamo le potenze di $3$ in base $2$

$\begin{array}{rC}
\mathtt{1} \\
\mathtt{11} \\
\mathtt{1001} \\
\mathtt{11011} \\
\mathtt{1010001} \\
\mathtt{11110011} \\
\mathtt{1011011001} \\
\mathtt{100010001011} \\
\mathtt{1100110100001} \\
\vdots
\end{array}$

Mi sono fermato qui perché c'è una congettura di Paul Erdös che afferma che la rappresentazione binaria di $3^x$ contiene sempre almeno una cifra $\mathtt{2}$ per $x>8$: se la congettura è vera allora le uniche potenze di $3$ conformi sono $3$ e $9$.

Più fortuna ho avuto con la seconda linea di attacco.

Riscriviamo la nostra equazione come $2^y=3^x-1$: la rappresentazione ternaria di $3^x$ è

$\displaystyle \mathtt{1}\underbrace{\mathtt{0}\cdots \mathtt{0}}_x$

per cui $2^y$ deve avere la rappresentazione

$\displaystyle \,\underbrace{\mathtt{2}\cdots 2}_x=\mathtt{2}\cdot\underbrace{\mathtt{1}\cdots \mathtt{1}}_x $

Dobbiamo dunque cercare le potenze di $2$ la cui rappresentazione ternaria sua composta di soli $\mathtt{1}$.

Lemma. La rappresentazione ternaria di un numero dispari contiene la cifra "$\mathtt{1}$" un numero dispari di volte; la rappresentazione ternaria di un numero pari contiene la cifra "$\mathtt{1}$" un numero pari di volte.

La rappresentazione di un numero intero nella base $b$ è nella forma $\ldots d_2 d_1 d_0$ e il valore del numero è dato da $\sum d_k b^k$: evidentemente, se $b$ è pari la parità del numero dipende dalla parità della cifra delle unità, $\sum d_k b^k\equiv d_0 \pmod 2$; viceversa, se $b$ è dispari la parità del numero dipende dalla parità complessiva di tutte le cifre, $\sum d_k b^k\equiv \sum d_k \pmod 2$: ogni cifra di valore pari contribuisce alla somma modulo $\mathtt{2}$ con uno $\mathtt{0}$, ogni cifra di valore dispari con un $\mathbb{1}$ quindi il numero sarà pari se contiene un numero pari di cifre dispari e dispari se ne contiene un numero dispari.

Per $b=3$ l'unica cifra di valore dispari è $\mathbb{1}$. $\fbox{}$

Dunque, una sequenza di $\mathtt{1}$ in base $3$, per poter essere una potenza di $2$ deve avere una lunghezza pari

$\displaystyle \underbrace{\mathtt{1}\cdots \mathtt{1}}_\text{pari}$

cioè un numero pari di $\mathtt{1}$.

Ma, se la lunghezza è pari possiamo raggruppare le cifre due a due: scriviamo la sequenza e le successive divisioni per $2$

$\begin{array}{lC}
\mathtt{11}\cdots\mathtt{11} \\
\mathtt{02}\cdots\mathtt{02} \\
\hline
\mathtt{01}\cdots\mathtt{01}
\end{array}$

Perché $\mathtt{11}\cdots\mathtt{11}$ sia una potenza di $2$ è necessario che $\mathtt{01}\cdots\mathtt{01}$ sia pari e quindi che sia

$\displaystyle \underbrace{\mathtt{11}\cdots\mathtt{11}}_\text{pari}$

Se così è, possiamo considerare i quartetti di $\mathtt{1}$

$\begin{array}{lC}
\mathtt{1111}\cdots\mathtt{1111} \\
\mathtt{0202}\cdots\mathtt{0202} \\
\mathtt{0101}\cdots\mathtt{0101} \\
\hline
\mathtt{0012}\cdots\mathtt{0012}
\end{array}$

poi gli ottetti

$\begin{array}{lC}
\mathtt{11111111}\cdots\mathtt{11111111} \\
\mathtt{02020202}\cdots\mathtt{02020202} \\
\mathtt{01010101}\cdots\mathtt{01010101} \\
\mathtt{00120012}\cdots\mathtt{00120012} \\
\hline
\mathtt{00021121}\cdots\mathtt{00021121}
\end{array}$

Osserviamo che, ad ogni passaggio in cui raddoppiamo la lunghezza della sequenza aggiungiamo una divisione prima di ottenere un numero dispari; inoltre, siccome l'algoritmo della divisione lavora con un massimo di due cifre alla volta (la base è $3$), raddoppiare la sequenza iniziale equivale a giustapporre due esemplari del numero dispari stesso

$\begin{array}{lC}
\mathtt{11}\,\mathtt{11} \to \mathtt{01}\,\mathtt{01} \\
\mathtt{1111}\,\mathtt{1111} \to \mathtt{0012}\,\mathtt{0012} \\
\vdots
\end{array}$

Per capire cosa succede quando facciamo l'operazione di cucire due esemplari di un numero dispari proviamo a giocare un po' con la divisione per $2$ in base $3$: siccome il divisore ha una sola cifra, l'algoritmo della divisione maneggia, come detto sopra, al più due cifre alla volta. Per semplificarci la vita possiamo anteporre uno $\mathtt{0}$ quando è in gioco una cifra sola:

$\begin{array}{cC}
\text{dividendo} & \text{quoziente} & \text{resto} \\
\hline
\mathtt{00} & \mathtt{00} & \mathtt{0} \\
\mathtt{01} & \mathtt{00} & \mathtt{1} \\
\mathtt{02} & \mathtt{01} & \mathtt{0} \\
\hline
\mathtt{10} & \mathtt{01} & \mathtt{1} \\
\mathtt{11} & \mathtt{02} & \mathtt{0} \\
\mathtt{12} & \mathtt{02} & \mathtt{1} \\
\hline
\mathtt{20} & \mathtt{10} & \mathtt{0} \\
\mathtt{21} & \mathtt{10} & \mathtt{1} \\
\mathtt{22} & \mathtt{11} & \mathtt{0}
\end{array}$

Prendiamo un numero dispari di quattro cifre, per esempio $\mathtt{0001}$. eseguiamo la divisione

$\begin{array}{lC}
\mathtt{00010001} : \mathtt{2} =\mathtt{00001112} \\
\phantom{\mathtt{0001}}\mathtt{10} \\
\phantom{\mathtt{00010}}\mathtt{10} \\
\phantom{\mathtt{000100}}\mathtt{11} \\
\phantom{\mathtt{0001000}}\mathtt{0}
\end{array}$

il primo $\mathtt{1}$ da resto $\mathtt{1}$ cosicché la cosa si ripete fino all'$\mathtt{1}$ successivo: i due esemplari di $\mathtt{1}$ sono separati da tre cifre per costruzione quindi un $\mathtt{1}$ nel quartetto generatore produce tre $\mathtt{1}$ (quindi un numero dispari) nel risultato della divisione.
Se cambiamo posizione all'$\mathtt{1}$

$\begin{array}{lC}
\mathtt{00100010} : \mathtt{2} =\mathtt{00011120} \\
\phantom{\mathtt{001}}\mathtt{10} \\
\phantom{\mathtt{0010}}\mathtt{10} \\
\phantom{\mathtt{00100}}\mathtt{11} \\
\phantom{\mathtt{001000}}\mathtt{00} \\
\phantom{\mathtt{0010001}}\mathtt{0}
\end{array}$

le cose non cambiano.
Se sosituiamo uno $\mathtt{0}$ con un $\mathtt{2}$

$\begin{array}{lC}
\mathtt{00120012} : \mathtt{2} =\mathtt{00021121} \\
\phantom{\mathtt{001}}\mathtt{10} \\
\phantom{\mathtt{0012}}\mathtt{12} \\
\phantom{\mathtt{00120}}\mathtt{11} \\
\phantom{\mathtt{001200}}\mathtt{02} \\
\phantom{\mathtt{0012001}}\mathtt{0}
\end{array}$

perdiamo un $\mathtt{1}$ quando si forma la coppia $\mathtt{12}$, ma quell'$\mathtt{1}$ lo riguadagniamo con il secondo esemplare di $\mathtt{2}$.
Se il $\mathtt{2}$ precede il primo $\mathtt{1}$

$\begin{array}{lC}
\mathtt{00210021} : \mathtt{2} =\mathtt{00121122} \\
\phantom{\mathtt{002}}\mathtt{10} \\
\phantom{\mathtt{0021}}\mathtt{10} \\
\phantom{\mathtt{00210}}\mathtt{12} \\
\phantom{\mathtt{002100}}\mathtt{11} \\
\phantom{\mathtt{0021002}}\mathtt{0}
\end{array}$

le cose si invertono, prima guadagniamo un $\mathtt{1}$ e poi lo perdiamo: il totale non cambia.
Le cose non cambiano anche se sostituiamo ciascuno $\mathtt{0}$ con un $\mathtt{2}$: infatti

$\begin{array}{lC}
\mathtt{22212221} : \mathtt{2} =\mathtt{11102222} \\
\phantom{\mathtt{2221}}\mathtt{12} \\
\phantom{\mathtt{22212}}\mathtt{12} \\
\phantom{\mathtt{222122}}\mathtt{11} \\
\phantom{\mathtt{2221222}}\mathtt{0}
\end{array}$

Vediamo ora l'altro numero dispari di quattro cifre, $\mathtt{0111}$: fatta la divisione

$\begin{array}{lC}
\mathtt{01110111} : \mathtt{2} =\mathtt{00201202} \\
\phantom{\mathtt{011}}\mathtt{10} \\
\phantom{\mathtt{0111}}\mathtt{11} \\
\phantom{\mathtt{011101}}\mathtt{11} \\
\phantom{\mathtt{0111011}}\mathtt{0}
\end{array}$

otteniamo un numero dispari con una sola cifra $\mathtt{1}$.
Osserviamo: quattro cifre, un $\mathtt{1}$, tre $\mathtt{1}$; quattro cifre, tre $\mathtt{1}$, un $\mathtt{1}$.

Prendiamo ora ad esempio il numero $\mathtt{02101021}$

$\begin{array}{lC}
\mathtt{0210102102101021}:\mathtt{2}=\mathtt{0101201012200122} \\
\phantom{\mathtt{02}}\mathtt{10} \\
\phantom{\mathtt{021}}\mathtt{11} \\
\phantom{\mathtt{02101}}\mathtt{02} \\
\phantom{\mathtt{0210102}}\mathtt{10} \\
\phantom{\mathtt{02101021}}\mathtt{12} \\
\phantom{\mathtt{021010210}}\mathtt{11} \\
\phantom{\mathtt{02101021021}}\mathtt{010} \\
\phantom{\mathtt{0210102102101}}\mathtt{12} \\
\phantom{\mathtt{02101021021010}}\mathtt{11} \\
\phantom{\mathtt{021010210210102}}\mathtt{0}
\end{array}$

Anche qui il numero di cifre $\mathtt{1}$ nel quoziente è uguale al numero di cifre pari nell'ottetto generatore.

Come mai? Sappiamo che cambiare la posizione delle cifre $\mathtt{1}$ o gli $\mathtt{0}$ con i $\mathtt{2}$ e viceversa non cambia il numero di cifre $\mathtt{1}$ nel quoziente quindi possiamo scrivere $\mathtt{00000}\,\mathtt{11}\,\mathtt{1000001}\,\mathtt{11}$: le coppie di cifre $\mathtt{1}$ danno $\mathtt{02}$ e le cifre $\mathtt{1}$ del quoziente vengono generate nella divisione di $\mathtt{1000001}$ che è cosi per costruzione.

Dato che il numero di cifre del generatore è pari e il numero di cifre $\mathtt{1}$ è dispari anche il numero di cifre $\mathtt{0}$ e $\mathtt{2}$ deve essere dispari portando ad un numero dispari di cifre $\mathtt{1}$ nel quoziente.

La giustapposizione di due esemplari di un numero dispari di quattro cifre, otto cifre ecc. produce dunque un multiplo dispari di due.

Questo implica che nessun numero composto di soli $\mathtt{1}$ può essere una potenza di due a parte $\mathtt{1}_\mathtt{3}=\mathtt{2}^\mathtt{0}$ e $\mathtt{11}_\mathtt{3}=\mathtt{2}^\mathtt{2}$.
A cui corrispondono $\mathtt{2}_\mathtt{3}=\mathtt{2}^\mathtt{1}=\mathtt{3}^\mathtt{1}-\mathtt{1}$ e $\mathtt{22}_\mathtt{3}=\mathtt{2}^\mathtt{3}=\mathtt{3}^\mathtt{2}-\mathtt{1}$.

:D
il panurgo

Principio di Relatività: {\bb m} \not \right {\bb M} \ \Longleftrightarrow \ {\bb M} \not \right {\bb m}
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"

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