[A33] Quadrato bi-pan-digitale

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Quelo
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[A33] Quadrato bi-pan-digitale

Messaggio da Quelo »

Si può scrivere un quadrato perfetto, nell'usuale base decimale, utilizzando tutte le cifre da 0 a 9 esattamente due volte?

Una domanda intrigante posta da Fani Green al Gruppo di Matematica su FB.

Sembra che ci siano circa 180.000 di questi quadrati ma dalle risposte sono emersi alcuni casi curiosi
Richiamo questo post del 19 luglio in home page per proporre un metodo di ricerca.

Innanzitutto restringo il campo di indagine ai numeri compresi tra 10012233445566778899 e 99887766554433221100 e di coseguenza parto dalle relative radici: 3164211346 e 9994386753
Anche così però sono circa 7 miliardi di numeri da testare.

Provo questa strada: dato un numero x di n cifre, le ultime m cifre del quadrato di x sono uguali alle ultime m cifre del quadrato delle ultime m cifre di x
$\displaystyle x=\underbrace{\overbrace{a}^{n-m\,cifre}\cdot10^m+\overbrace{b}^{m\,cifre}}_{n\,cifre}$
$\displaystyle x^2=a\cdot10^{2m}+2ab\cdot10^m+b^2$
se $\displaystyle b^2=c\cdot10^m+\overbrace{d}^{m\,cifre}$ allora
$\displaystyle x^2=a\cdot10^{2m}+2ab\cdot10^m+c\cdot10^m+d=(a\cdot10^m+2ab+c)\cdot10^m+\overbrace{d}^{m\,cifre}$

es:
123456789^2 = 15241578750190521
789^2 = 622521
6789^2 = 46090521
56789^2 = 3224990521

A questo punto posso dividere la ricerca, per esempio 5+5, calcolo i quadrati di tutti i numeri di 5 cifre (da 00001 a 99999) e scarto quelli che hanno più di due cifre uguali nelle ultime 5 cifre
Ai restanti aggiungo davanti le cinque cifre dei numeri da 31642 a 99943, calcolo i quadrati e controllo le prime 15 cifre (in aggiunta alle 5 già testate) per vedere se ci sono tutte le cifre ripetute due volte
In questo esempio sono 100.000 iterazioni al primo giro e circa 70.000 iterazioni per ogni numero "promettente"

Ora si tratta di capire quale combinazione {n-m}, {m} è quella più rapida
Dopo qualche tentativo mi pare che la più proficua sia 2+8, cioè controllo 100 milioni di numeri e per ognuno di quelli che rimangono 70 ulteriori combinazioni

Così facendo ci vuole qualche ora, per il momento ho testato circa un terzo delle combinazioni e i quadrati bi-pan-digitali trovati sono circa 165.000
Di questi circa l'1 per mille ha la radice pan-digitale (cioè che contiene le 10 cifre da 0 a 9), es: 96720381357624589041 = 9834652071^2

Solo uno ha la radice palindroma: 19382464500128577936 = 4402552044^2
Altri numeri particolari:

38716049417283950625 = 6222222225^2
32705690113289876544 = 5718888888^2
40992717634861358025 = 6402555555^2
58290736123456718049 = 7634837007^2

Una volta completato il database, quali altri tipi di analisi si potrebbero fare?
Ultima modifica di Quelo il mar ago 31, 2021 2:04 pm, modificato 1 volta in totale.
[Sergio]

Bruno
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Re: [A33] Quadrato bi-pan-digitale

Messaggio da Bruno »

Fantastico: bravo, Sergio :D
(Bruno)

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Quelo
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Re: [A33] Quadrato bi-pan-digitale

Messaggio da Quelo »

Ricerca completata, potete trovare l'elenco completo qui:

quad-bi-pa.xlsx

Il numero totale dei quadrati bi-pan-digitali trovati è 468.372, di questi 534 (circa l’1 per mille) ha la radice pan-digitale (cioè che contiene le 10 cifre da 0 a 9)

es: 97537826310245146809 = 98761240532^2

Il più piccolo è 10012495377283485696 (= 3164252736^2), mentre il più grande è 99887301530267526144 (= 9994363488^2)

Tra le radici non sono presenti numeri con tutti le cifre uguali e nemmeno numeri primi

Ecco altri numeri particolari:

radice con 2 cifre diverse
  • 60485271895340361729 = 7777227777^2
  • 79012345680987654321 = 8888888889^2
radice con due parti uguali
  • 10832872344197065569 = 3291332913^2
  • 12506375083749812496 = 3536435364^2
  • 18206799740532843561 = 4266942669^2
  • 58790198546334102276 = 7667476674^2
  • 95720743346151082896 = 9783697836^2
radice palindorma
  • 19382464500128577936 = 4402552044^2
  • 39253052144687091876 = 6265225626^2
  • 60485271895340361729 = 7777227777^2
  • 86390796142382575041 = 9294664929^2
radice quadrato perfetto
  • 23514473895962870016 = 4849172496^2 = 69636^4
  • 24306341799881750625 = 4930146225^2 = 70215^4 (70215 è circa 265^2)
  • 35259076387041812496 = 5937935364^2 = 77058^4
  • 42817597245013360896 = 6543515664^2 = 80892^4
radice con 9 cifre in serie
  • 79012345680987654321 = 8888888889^2
radice con 8 cifre in serie
  • 38716049417283950625 = 6222222225^2
radice con 7 cifre in serie
  • 31235678912987654400 = 5588888880^2
  • 32705690113289876544 = 5718888888^2
9 cifre in sequenza inversa
  • 79012345680987654321 = 8888888889^2
radice con 7 cifre in sequenza inversa
  • 97546103230848972561 = 9876543081^2
[Sergio]

Bruno
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Re: [A33] Quadrato bi-pan-digitale

Messaggio da Bruno »

Lavoro poderoso, Sergio, grazie infinite :D
(Bruno)

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