Coprire una scacchiera con L-tromino

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Quelo
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Coprire una scacchiera con L-tromino

Messaggio da Quelo »

Riprendo questo articolo http://utenti.quipo.it/base5/geopiana/trominol.htm
e propongo di dimostrare che possono essere coperte anche le scacchiere di lato 7, 10, 11, 13, 17 e 19 (a cui sia stata rimossa una casella)
La scacchiera di lato 5 può essere coperta solo per alcuni casi particolari (casella centrale, casella centrale lungo il bordo, casella d'angolo)
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5x5 L-tromino.png
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[Sergio]

Gianfranco
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Re: Coprire una scacchiera con L-tromino

Messaggio da Gianfranco »

Il quadrato 7x7 si risolve usando la soluzione del 5x5 e aggiungendo altri 7 casi.
Il quadrato 10x10 si risolve usando la soluzione del 7x7 senza ulteriori aggiunte.
Sospetto che si possa andare avanti per induzione ma non sono sicuro.

Per il 7x7.
l-tromino.png
l-tromino.png (90.98 KiB) Visto 441 volte
Spieg-Azioni:
1) Aggiungere una cornice a L spessa 2 al quadrato 5x5.
2) Dalla soluzione 5x5 si deduce, per simmetrie e rotazioni che il problema è solubile rimuovendo ciascuna delle caselle segnate col bollino nero.
3) Poi, le soluzioni da 1 a 7 e relative simmetrie e rotazioni dimostrano che il problema è risolubile rimuovendo qualunque casella.

Per il 10x10 basta aggiungere una cornice a L spessa 3 al quadrato 7x7. Per simmetrie e rotazioni, senza ulteriori operazioni, il problema è risolubile rimuovendo qualunque casella.
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

Quelo
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Re: Coprire una scacchiera con L-tromino

Messaggio da Quelo »

Bravo Gianfranco, ottima soluzione e ottima intuizione.
Per induzione è possibile risolvere qualsiasi schema quadrato in cui il lato non sia multiplo di 3 (eccetto il 5x5) a cui sia stata rimossa una casella.
Ad esempio il bordo 2 si può ricoprire se il lato esterno è nella forma 3n+4 (come mostrato da Gianfranco), questo significa che se ho uno schema risolvibile di lato 3n+2 (es. 8x8) allora anche lo schema lato 3n+4 è risolvibile (es. 10x10)
Tramite rotazione e riflessione posso sempre spostare la casella mancante dal bordo al quadrato interno (a patto che questo sia più grande della metà di quello esterno)
Per il bordo 3 avremo uno schema di questo tipo:
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L-tromino 10x10.png
L-tromino 10x10.png (2.85 KiB) Visto 433 volte
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Quindi da 2n+1 a 2n+4 (ad es. da 7x7 a 10x 10)
E così via, ogni bordo ha il suo schema di copertura sotto certe condizioni, sarà sempre possibile trovare una combinazione per arrivare alla soluzione di un dato schema

Per esempio possiamo passare da 7 a 10, da 10 a 14, da 14 a 19, ecc...
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L-tromino 19x19.png
L-tromino 19x19.png (10.38 KiB) Visto 433 volte
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In realtà è stato dimostrato che ogni schema rettangolare che rispetti certi criteri è risolvibile.
Vi lascio un interessante articolo in materia
https://www.tandfonline.com/doi/pdf/10. ... 9.11922354

Edit:
Dimostrazione rapida che tutti gli schemi sono tassellabili
Tutti i numeri interi possono essere espressi in una di queste forme: 3n, 3n+1, 3n+2
Il bordo 6 può essere applicato a qualsiasi schema
Bordo 6.png
Bordo 6.png (28.18 KiB) Visto 398 volte
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Sapendo che gli schemi 6x6 e 9x9 sono tassellabili allora lo sono tutti gli schemi 3n x 3n con n>2
Sapendo che gli schemi 7x7 e 10x10 sono tassellabili (tolta una casella) allora lo sono tutti gli schemi 3n+1 x 3n+1 con n>2
Sapendo che gli schemi 8x8 e 11x11 sono tassellabili (tolta una casella) allora lo sono tutti gli schemi 3n+2 x 3n+2 con n>2
[Sergio]

Gianfranco
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Re: Coprire una scacchiera con L-tromino

Messaggio da Gianfranco »

Idea davvero ottima per la dimostrazione rapida.
Non so se ho capito bene, ma credo che ci sia un piccolo aggiustamento da fare.
Infatti...
ltromino1.png
ltromino1.png (19.16 KiB) Visto 387 volte
a) Con il bordo di tipo A non si possono "bordare" tutti i quadrati di lato 3n (per esempio 9 non si può) ma solo quelli con n pari.
b) Allo stesso modo, con il bordo di tipo B si possono "bordare solo i quadrati 3n+1 con n pari.

Io farei questo aggiustamento:
a) Usare solo i due bordi seguenti:
ltromino2.png
ltromino2.png (63.18 KiB) Visto 387 volte
b) Osservare che con il primo si possono bordare tutti i quadrati di lato pari e con il secondo i quadrati di lato dispari. Così bordiamo tutti i quadrati.
c) Analizzare 6 casi anziché 3.
1) la proprietà di tassellazione del quadrato 6x6 si estende ai quadrati di lato 6n: 6,12,18,24,... completa
2) la proprietà di tassellazione del quadrato 7x7 si estende ai quadrati di lato 6n+1: 7,13,19,25,... bucata
3) la proprietà di tassellazione del quadrato 8x8 si estende ai quadrati di lato 6n+2: 8,14,20,26,... bucata
4) la proprietà di tassellazione del quadrato 9x9 si estende ai quadrati di lato 6n+3: 9,15,21,27,... completa
5) la proprietà di tassellazione del quadrato 10x10 si estende ai quadrati di lato 6n+4: 8,14,20,26,... bucata
6) la proprietà di tassellazione del quadrato 11x11 si estende ai quadrati di lato 6n+5: 11,17,23,29,... bucata
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Quindi, sintetizzando...

Salvo errori e omissioni.
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

Quelo
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Re: Coprire una scacchiera con L-tromino

Messaggio da Quelo »

Sì, hai ragione sul pari e dispari.
I 6 casi sono quelli che intendevo io, solo che sono stato sbrigativo.
Volevo dire: con il 6x6 si fanno i 3n con n pari, con 9x9 si fanno i 3n con n dispari, con 7x7 si fanno i 3n+1 con n pari, ecc...
In realtà, leggedo quell'articolo, mi immaginavo che la dimostrazione fosse più complessa.

Per completezza metto il 9x9
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L-tromino 9x9.png
L-tromino 9x9.png (2.38 KiB) Visto 383 volte
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Ho trovato anche un'ammirevole dimostrazione per i rettangoli ma il margine è troppo stretto per farcela entrare (semi cit.)
Magari un'altra volta
[Sergio]

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