Una corda presa a caso

Il forum di Base5, dove è possibile postare problemi, quiz, indovinelli, rompicapo, enigmi e quant'altro riguardi la matematica ricreativa e oltre.

Moderatori: Gianfranco, Bruno

Rispondi
franco
Livello 8
Livello 8
Messaggi: 1285
Iscritto il: mar dic 12, 2006 12:57 pm
Località: Bèrghem (Sardegna)

Una corda presa a caso

Messaggio da franco »

Qual è la probabilità che la lunghezza di una corda presa a caso su una circonferenza sia superiore a quella del lato del triangolo equilatero inscritto?

Il problema è forse meno banale di quel che sembra: i risultati cambiano a seconda di cosa consideriamo per "corda presa a caso"?
(l'angolo al centro fra 0 e π? la distanza del punto medio della corda fra 0 e R? due punti casuali lungo la lunghezza della circonferenza? ...)

Si chiede di valutare anche questo caso:
Individuiamo la corda lasciando cadere un bastoncino di lunghezza superiore a 4 su un cerchio di raggio = 1.
Il centro del bastoncino ricade con distribuzione uniforme all'interno dell'area del cerchio e l'angolo rispetto a una direzione fissa è aleatorio con densità uniforme.

www.diophante.fr
G10390
Franco

ENGINEER
noun. (en-juh-neer)
someone who does precision guesswork based on unreliable data provided by those of questionable knowledge.
See also wizard, magician

Quelo
Livello 6
Livello 6
Messaggi: 569
Iscritto il: ven giu 16, 2006 3:34 pm

Re: Una corda presa a caso

Messaggio da Quelo »

La statistica non è il mio forte ma ci provo lo stesso (perdonate l'esposizione imperfetta)

Per una circonferenza di raggio 1, il lato del triangolo equilatero inscritto vale $\displaystyle L=\sqrt{3}$
Se per "corda presa a caso" assumiamo che ogni lunghezza ha la stessa probabilità, allora la probabilità che sia più lunga di L è piuttosto bassa: $\displaystyle p=1-\frac{\sqrt{3}}{2}=0,134$
Questo però non tiene conto della reale distribuzione delle corde all'inerno della circonferenza.

Provo allora un metodo sperimentale: per ogni punto all'interno della circonferenza considero tutti gli angoli tra 0 e 90° e conteggio le corde maggiori di L
Affinando il calcolo arrivo ad un valore approssimato di $\displaystyle p=0,609$
Questo appare coerente, perché man mano che mi allontano dal centro aumentano i punti, ma diminuisce la lunghezza media delle corde

Considero ora il caso del bastoncino, indico con:
$a$ la distanza del centro del bastoncino B al centro della circonferenza C
$\beta$ l'angolo che il bastoncino forma con il segmento $a$
$c$ la lunghezza della corda
$d$ la distanza tra il punto medio della corda M e il centro della circonferenza C
.
corde a caso.png
corde a caso.png (75.89 KiB) Visto 473 volte
.
Sarà $\displaystyle d=a\sin\beta$

Vedo subito che se il bastoncino cade entro la metà del raggio, tutte le possibili corde sono maggiori di L
L'area del cerchio di raggio $\displaystyle \frac{1}{2}$ vale $\displaystyle \frac{1}{4}$, quindi posso dire che il bastoncino ha il 25% di probabilità di cadere in un'area dove la probabilità c > L è del 100%, $\displaystyle p_{int}=1$
Fuori da quest'area le corde maggiori di L sono qulle per cui $\displaystyle d<\frac{1}{2}$
Quindi $\displaystyle a \sin\beta<\frac{1}{2}$ da cui $\displaystyle \beta < \arcsin(\frac{1}{2a})$
Ne deriva che $\displaystyle p_a= \arcsin(\frac{1}{2a})\frac{2}{\pi}$ è la porzione di corde maggiori di L su tutte quelle possibili alla distanza $a$
A questo punto moltiplico per la circonferenza di raggio $a$, sommo tutte le porzioni per $a$ tra 0,5 e 1 e divido per l'area esterna a R=0,5 che vale $\displaystyle \frac{3\pi}{4}$
Confesso che questo passaggio mi rimane un po' oscuro
$\displaystyle p_{est}=\frac{4\pi}{3}\int_{\frac12}^1 \arcsin(\frac{1}{2a})\frac{2}{\pi}2\pi a\,da=\frac{16\pi}{3}\int_{\frac12}^1 \arcsin(\frac{1}{2a})a\,da=0,478664$
quindi posso dire che il bastoncino ha il 75% di probabilità di cadere in un'area dove la probabilità c > L è del 47,8%
La probabilità complessiva sarà: $\displaystyle p=\frac14 p_{int}+\frac34 p_{est}=0,608998$

Non sono sicuro che sia corretto però è coerente con il risultato sperimentale
Lascio qui anche il programma di test

Codice: Seleziona tutto

FOR  r = 1 TO 2
      LET s = 10^r
      LET p = 0 
      LET q = 0
      FOR j = -1 TO 1 STEP 1/s
         FOR i = -1 TO 1 STEP 1/s
            LET a = SQR(i^2+j^2)
            IF a<1 THEN 
               LET q=q+1
               FOR b = 0 TO 90 STEP 1/s
                  LET d = a*SIN(b)
                  LET e = SQR(1-d^2)
                  LET f = 2*e
                  IF f>SQR(3) THEN LET p=p+1
               NEXT B
            END IF
         NEXT I
      NEXT J
      PRINT p/(q*90*s)
   NEXT r
[Sergio]

panurgo
Livello 9
Livello 9
Messaggi: 1416
Iscritto il: sab nov 19, 2005 3:45 pm
Località: Padova

Re: Una corda presa a caso

Messaggio da panurgo »

Ragazzi, questo è il Paradosso di Bertrand: su di esso sono stati spesi fiumi di inchiostro. Suggerisco un'occhiata alla letteratura...
il panurgo

Principio di Relatività: {\bb m} \not \right {\bb M} \ \Longleftrightarrow \ {\bb M} \not \right {\bb m}
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"

Quelo
Livello 6
Livello 6
Messaggi: 569
Iscritto il: ven giu 16, 2006 3:34 pm

Re: Una corda presa a caso

Messaggio da Quelo »

Non ci si può fidare dei Francesi...
[Sergio]

panurgo
Livello 9
Livello 9
Messaggi: 1416
Iscritto il: sab nov 19, 2005 3:45 pm
Località: Padova

Re: Una corda presa a caso

Messaggio da panurgo »

Quelo ha scritto:
dom ago 01, 2021 11:34 pm
Non ci si può fidare dei Francesi...
Concordo: non a caso Bertrand era francese...
il panurgo

Principio di Relatività: {\bb m} \not \right {\bb M} \ \Longleftrightarrow \ {\bb M} \not \right {\bb m}
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"

franco
Livello 8
Livello 8
Messaggi: 1285
Iscritto il: mar dic 12, 2006 12:57 pm
Località: Bèrghem (Sardegna)

Re: Una corda presa a caso

Messaggio da franco »

I Francesi riportavano correttamente la fonte ... sono io che ho fatto una traduzione un po' maccheronica

G10390. Un paradoxe de plus
Quelle est la probabilité qu'une corde d'un cercle prise au hasard soit plus longue que le côté du triangle équilatéral inscrit ? Il n'y a pas qu'une réponse à cette question posée par
Joseph Bertrand, car que prend-on au hasard (sous-entendant avec densité de probabilité uniforme) ? Les extrémités de la corde sur la circonférence, de façon indépendante ? Le milieu de la corde dans le cercle ? La distance du centre du cercle à la corde, entre 0 et le rayon ?
Michel Dorrer propose d'étudier un quatrième mode d'intervention du hasard.
Sur un cercle de rayon 1, on laisse tomber des baguettes de longueur supérieure à 4, considérant que le centre de la baguette est uniformément distribué dans le cercle unité, et que l'angle de la baguette par rapport à une direction fixe est aléatoire avec une densité uniforme.
La baguette définit une corde et Michel Dorrer demande la probabilité que la longueur de cette corde soit supérieure au côté du triangle équilatéral inscrit.
Problème proposé par Michel Dorrer, paru dans La Jaune et la Rouge d'août-septembre 2017


ciao

Franco
Franco

ENGINEER
noun. (en-juh-neer)
someone who does precision guesswork based on unreliable data provided by those of questionable knowledge.
See also wizard, magician

Rispondi