Aree razionali nel geopiano

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Gianfranco
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Aree razionali nel geopiano

Messaggio da Gianfranco »

Come si può calcolare l'area dei poligoni colorati usando la formula di Pick?
pick_3.png
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Ma la domanda di fondo è un'altra: è vero che l'area dell'intersezione di due poligoni nel geopiano è sempre un numero razionale?
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

Quelo
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Re: Aree razionali nel geopiano

Messaggio da Quelo »

Io ho fatto questo ragionamento:
I lati dei poligoni nel geopiano individuano rette con coefficienti razionali, in quanto passano sempre per 2 punti che hanno coordinate intere.
Le inteserzioni avranno pertanto coordinate razionali, in quanto soluzioni di sistemi di equazioni di primo grado a coefficienti razionali.
Per esempo se prendiamo come riferimento il punto in basso a sinistra, le intersezioni hanno le seguenti coordinate:

Figura gialla: $\displaystyle(\frac{5}{2};1) (\frac{11}{2};1) (\frac{7}{2};3) (\frac{13}{2};3)$

Figura verde: $\displaystyle(\frac{9}{7};\frac{50}{7}) (2;\frac{15}{2})$

Figura azzurra: $\displaystyle(\frac{26}{5};\frac{33}{5}) (\frac{11}{2};6) (\frac{13}{2};6) (\frac{23}{3};3) $

A questo punto basta individuare un denominatore comune e moltiplicare i punti sul piano:
Figura gialla: 2x
Figura verde: 14x
Figura azzurra: 30x

Contando i punti si ha:
Figura gialla: $\displaystyle i'=17, p'=18, A'=17+8-1=24, A= \frac{A'}{4}=6$
Figura verde: $\displaystyle i'=403, p'=36, A'=403+18-1=420, A= \frac{A'}{196}=\frac{15}{7}$
Figura azzurra: $\displaystyle i'=1423, p'=96, A'=1423+48-1=1470, A= \frac{A'}{900}=\frac{49}{30}$

SE&O
[Sergio]

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