Prodotto di corde

[Quelo]

Si dispongano $n$ punti equidistanti su di una circonferenza di raggio unitario.
Si scelga un punto X intermedio tra due punti consecutivi
Si traccino tutte le corde da X agli $n$ punti.
La lunghezza di ogni corda sarà $c_i$
Calcolare il prodotto di tutte le corde
$\displaystyle P=\prod_{i=1}^{n}{c_i}$

Vi metto un esempio per n=5
.

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[franco]

Solo un chiarimento: il punto X è un punto qualunque sulla circonferenza o per "intermedio" intendi equidistante da due dei punti N individuati precedentemente (come nel disegno esemplificativo)?

[Quelo]

Sì Franco, il punto X deve essere a metà strada tra due punti N, come nel disegno.
Ne deriva una soluzione singolare

[franco]

Per n=2, n=3 e n=4 il prodotto delle corde risulta sempre uguale (e, con un pò di fantasia, anche per il caso limite n=1).
Mi sembra qualcosa più di un indizio

[Quelo]

E' giusto Franco, il prodotto è sempre uguale, indipendentemente da n.
Ho trovato questo "teorema" ma senza dimostrazione, così me ne sono fatta una mia, anche se non particolrmente elegante.

[Pasquale]

Praticamente bisogna dimostrare che il prodotto di cui trattasi vale sempre quanto il diametro?

[panurgo]

La congettura da dimostrare è

$\displaystyle\prod_{k=1}^n\sin \frac{\left(2k-1\right)\pi}{2n}=2^{1-n}$

[Quelo]

Esattamente

Una strada che ho cercato di percorrere è che la lunghezza delle corde corrisponde alla parte reale (in valore assoluto) delle radici di $\sqrt[n]{-(2^n)}$ ma non mi ha portato a nulla.
Seguendo un'altra strada sono riuscito ad esprimere il prodotto come sommatoria, per la quale Wolfram Alpha conferma il valore costante.