Perimetro minimo

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franco
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Perimetro minimo

Messaggio da franco »

ABCD è un quadrilatero convesso inscritto in un cerchio (Γ).
Da un punto X interno al quadrilatero tracciamo le perpendicolari ai lati AB, BC, CD e DA individuando rispettivamente i punti P, Q, R e S.
Determinare la posizione di X tale per cui il perimetro del quadrilatero PQRS sia minimo.

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Franco

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delfo52
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Re: Perimetro minimo

Messaggio da delfo52 »

se prendo quattro punti consecutivi (?!) sulla circonferenza, posso creare un mini trapezio di area epsilon, al cui interno posso (?!) trovare il punto X.
il difficile è farcelo entrare. TRa due punti contigui (?!) è pur sempre possibile farcene entrare un altro.
Cantor a forza di fare questi ragionamenti è diventato pazzo....
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franco
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Re: Perimetro minimo

Messaggio da franco »

delfo52 ha scritto:
ven lug 02, 2021 3:49 pm
se prendo quattro punti consecutivi (?!) sulla circonferenza, posso creare un mini trapezio di area epsilon, al cui interno posso (?!) trovare il punto X.
il difficile è farcelo entrare. TRa due punti contigui (?!) è pur sempre possibile farcene entrare un altro.
Cantor a forza di fare questi ragionamenti è diventato pazzo....
Sicuramente se faccio "collassare" il quadrilatero ABCD su un singolo punto, X, P, Q, R e S coincidono con tale punto e il perimetro di PQRS è pari a zero :)

Però qui si chiede (così almeno interpreto io il problema) di determinare la posizione di X per un quadrilatero ABCD generico (e inscritto in una corconferenza).

Francamente non so nemmeno da che parte cominciare ... ho postato il problema sperando che ci fosse qualcuno più bravo di me in grado di farci qualcosa :D
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panurgo
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Re: Perimetro minimo

Messaggio da panurgo »

Direi che il perimetro di $\text{PQRS}$ è minimo quando $\text{X}$ giace sull'intersezione delle diagonali di $\text{ABCD}$: bisogna solo dimostrarlo... :wink:
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Re: Perimetro minimo

Messaggio da franco »

panurgo ha scritto:
mar lug 06, 2021 12:36 pm
Direi che il perimetro di $\text{PQRS}$ è minimo quando $\text{X}$ giace sull'intersezione delle diagonali di $\text{ABCD}$: bisogna solo dimostrarlo... :wink:
Lo penso anche io; anche perchè non mi viene in mente alcun altro candidato "punto notevole" entro un quadrilatero generico.
Ho provato con un quadrato e numericamente si vede chiaramente che il perimetro minimo si ottiene posizionando X al centro; però la risoluzione analitica, anche in questo caso semplificato, è fuori dalla mia portata.
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Re: Perimetro minimo

Messaggio da franco »

Il problema è rimasto in sospeso, almeno per quanto riguarda la dimostrazione.
Nel sito diophante.fr sono state pubblicare le soluzioni pervenute da parte di diversi appassionati.
Qui sotto il link a una di esse, qualora ci fosse qualcuno interessato :)
Naturalmente è in francese ma penso sia facilmente comprensibile ...

http://www.diophante.fr/images/stories/ ... 07JMSM.pdf
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