Abbiamo una cialda per gelato di forma conica.
Poggiandola su un tavolo col vertice in alto (come da figura) può contenere:
- una sfera tangente sia alle pareti del cono che al tavolo
- oppure un cilindro inscritto nel cono avente la stessa altezza e lo stesso volume della sfera di cui spora
Il cono è servito con la più grande pallina di gelato che sia tangente alle pareti del cono.
Sappiamo che con un litro di gelato possiamo servire 30 clienti.
Si chiede di determinare le dimensioni della cialda (approssimate al millimetro)
ciao
Franco
www.diophante.fr
D336
Un Cono Gelato
Moderatori: Gianfranco, Bruno
Questo forum è una sezione del PORTALE DI BASE CINQUE
Un Cono Gelato
Franco
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noun. (en-juh-neer)
someone who does precision guesswork based on unreliable data provided by those of questionable knowledge.
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Re: Un Cono Gelato
Risolto graficamente.
L'altezza del cono è 96 mm, mentre il diametro alla base è 39 mm
La pallina di gelato ha un volume di $\displaystyle \frac{4}{3}\pi {R_p}^3 = \frac{1000}{30} cm^3$ da cui $R_p=20 \,\text{mm}$
La sfera inscritta ha raggio $R_s=16\,\text{mm}$ mentre il cilindro ha raggio $R_c=\frac{2}{\sqrt{6}}R_s=13\,\text{mm}$
Procedimento
Pongo Rs=1 per comodità
Ricavo Rc da Rs e la diagonale D di conseguenza
Da Rs e D ricavo gli angoli $\alpha$ e $\beta$
L'angolo $\gamma$ al vertice del cono sarà la differenza tra $\beta$ e $\alpha$
Ottengo così il rapporto tra l'altezza del cono e il raggio $H_c=\frac{R_s}{\sin(\gamma)}+R_s$
A questo punto ricavo l'apotema del cono $A_c=\frac{H_c}{\cos(\gamma)}$ e il raggio della pallina $R_p=A_c sin(\gamma)$
Essendo noto $R_p$, ricavo tutti gli altri valori
SE&O
L'altezza del cono è 96 mm, mentre il diametro alla base è 39 mm
La pallina di gelato ha un volume di $\displaystyle \frac{4}{3}\pi {R_p}^3 = \frac{1000}{30} cm^3$ da cui $R_p=20 \,\text{mm}$
La sfera inscritta ha raggio $R_s=16\,\text{mm}$ mentre il cilindro ha raggio $R_c=\frac{2}{\sqrt{6}}R_s=13\,\text{mm}$
Procedimento
Pongo Rs=1 per comodità
Ricavo Rc da Rs e la diagonale D di conseguenza
Da Rs e D ricavo gli angoli $\alpha$ e $\beta$
L'angolo $\gamma$ al vertice del cono sarà la differenza tra $\beta$ e $\alpha$
Ottengo così il rapporto tra l'altezza del cono e il raggio $H_c=\frac{R_s}{\sin(\gamma)}+R_s$
A questo punto ricavo l'apotema del cono $A_c=\frac{H_c}{\cos(\gamma)}$ e il raggio della pallina $R_p=A_c sin(\gamma)$
Essendo noto $R_p$, ricavo tutti gli altri valori
SE&O
[Sergio] / $17$
Re: Un Cono Gelato
La tua soluzione (a meno di possibili arrotondamenti al mm) mi sembra coincidere con la mia, realizzata senza l'ausilio di strumenti grafici: ho usato giusto power point per fare i disegni che sono poco più che approssimativi.
Visto che continuo ad essere impedito con l'uso delle formule ho scritto i miei ragionamenti in un file word che riporto qui sotto sotto forma di immagini: Se anzichè approssimare a 20 la misura del raggio di base del cono considero il diametro, l'approssimazione al millimetro porta anche a me al risultato di 39 mm.
ciao
Franco
(SE&O)
Franco
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