Poligonali inscritte

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Moderatori: Gianfranco, Bruno

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giobimbo
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Poligonali inscritte

Messaggio da giobimbo »

Su una circonferenza scegliamo 13 punti, posti a distanze più o meno uguali l’uno dall’altro, indicati, procedendo in senso orario, con i numeri da 1 a 13.
Scelti n punti colleghiamoli (sempre procedendo in senso orario) l’uno con l’altro tramite un segmento, a formare una poligonale chiusa. Dati due punti successivi P1 e P2 della poligonale chiamiamo “lunghezza“ del segmento che collega P1 a P2 il numero di punti incontrati per arrivare a P2 partendo da P1. Per esempio, con P1=2 e P2=6 incontriamo i punti 3, 4, 5 e 6: quattro punti, allora la lunghezza di questo lato è 4.
I problemi da risolvere usando sempre 12 punti diversi e 12 segmenti di lunghezza sempre diversa sono:

1) costruire una poligonale da 12 lati;
2) costruire due poligonali da 6 lati ciascuna;
3) costruire tre poligonali da 4 lati ciascuna.

Quelo
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Re: Poligonali inscritte

Messaggio da Quelo »

Perché una poligonale si chiuda la somma delle lunghezze dei lati (numero di punti incontrati) deve essee multiplo di 13
I segmenti possibili hanno lunghezze comprese tra 1 e 12 e dovendo usarne 12 di lunghezza diversa, la somma totale di tutti i segmenti sarà 78 che appunto è multipplo di 13
Va da sè che una soluzione per la poligonale da 12 lati è possible.
Se ora raggruppiamo i segmenti a coppie partendo dalle estremità (1-12, 2-11, 3-10,...) ogni coppia ha somma 13, quindi è possibile trovare 2 gruppi di 6 segmenti o 3 gruppi di 4 segmenti con somma multiplo di 13

Poligonale di 12 lati
Dopo un po' di tentativi ottengo la la seguente sequenza (sostituisco i numeri dei punti con le lettere a partire dalla B, perché così me le ha nominate GeoGebra):
B-H-C-J-F-K-I-M-L-N-D-E-B con lunghezze dei lati 6-8-7-9-5-11-4-12-2-3-1-10
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1 poli 12 lati.png
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Due poligonali da 6 lati
Poichè le coppie viste sopra sono di fatto lo stesso segmento (numeri bassi in avanti, numeri alti indietro), divido i due gruppi secondo questa regola del tutto empirica: i 5 numeri più bassi con un sesto a compensare, da cui
Gruppo 1: 1-2-3-4-5-11 (somma 26)
Gruppo 2: 6-7-8-9-10-12 (somma 52)
Anche qui per tentativi:
1) B-C-H-F-J-M-B lunghezze 1-5-11-4-3-2
2) K-D-N-I-E-L-K lunghezze 6-10-8-9-7-12
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2 poli 6 lati.png
2 poli 6 lati.png (146.95 KiB) Visto 2170 volte
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Tre poligonali da 4 lati
Sempre con la stessa regola:
Gruppo 1: 1-2-3-7 (somma 13)
Gruppo 2: 4-5-6-11 (somma 26)
Gruppo 3: 8-9-10-12 (somma 39)
Sempre per tentativi
1) B-C-E-H-B lunghezze 1-2-3-7
2) D-I-M-K-D lunghezze 5-4-11-6
3) F-N-J-G-F lunghezze 8-9-10-12
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3 poli 4 lati.png
3 poli 4 lati.png (145.91 KiB) Visto 2154 volte
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SE&O
[Sergio] / $17$

giobimbo
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Re: Poligonali inscritte

Messaggio da giobimbo »

Molto bene Quelo, tutto giusto, bentornato al Forum.

Quelo
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Re: Poligonali inscritte

Messaggio da Quelo »

Grazie :D
[Sergio] / $17$

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