Cosa è per voi un teorema?

[Tino]

A me fa comodo pensarlo come "proposizione vera".

A voi?

Ah.. ciao a tutti!

[crazydiamond]

proposizione "dimostrabile" a partire da un insieme di "assiomi" (proposizioni "vere" per definizione e non contraddittorie fra loro) e usando una serie di "regole di derivazione" (anche queste si possono specificare formalmente in maniera abbastanza comprensibile e "ragionevole")

secondo me, la "definizione" più corretta, non formale, di "teorema" è: proposizione "dimostrabile" come "vera"

p.s. per una discussione più "seria", vedi G.Peano e Bertrand Russel ...

[Gianfranco]

Che cosa è (per voi) un teorema?

In una teoria matematica formalizzata un teorema è l'ultima proposizione di una dimostrazione.

Non è una battuta! E' proprio questa la definizione (magari precisata un po' meglio).

La domanda più difficile, per me, è: cos'è una dimostrazione?

Qui mi fermo. Sarebbe troppo lungo...
Anche Crazydiamond si è limitato (va bene il maschile?) ad una sintesi temeraria.

Tino, dici:

A me fa comodo pensarlo come "proposizione vera".

Per me, un teorema è il culmine di un processo mentale. Un processo che ciascuno di noi conduce in modo del tutto personale ma che alla fine si può descrivere secondo certe regole accettate da una comunità, quella dei matematici.

Per me non ha molto senso matematico chiedersi se un teorema è vero (o falso). Faccio qualche esempio.

Cavalieri ha postulato l'esistenza degli "indivisibili" e li ha utilizzati per calcolare il volume dei solidi. Ha senso (?) porsi domande del tipo: è vero che esistono gli indivisibili? sono veri tutti i teoremi dimostrati usando gli indivisibili?

Abraham Robinson ha postulato l'esistenza dei numeri iperreali e con questi ha straordinariamente semplificato tutta l'analisi e altre discipline matematiche.
Un numero iperreale infnitesimo è un numero minore in valore assoluto di qualsiasi altro numero reale positivo e tuttavia diverso da zero: è un numero
non-archimedeo (non soddisfa la Proprietà di Archimede).
Ha senso (?) chiedersi: è vero che esistono tali infinitesimi iperreali? sono veri tutti i teoremi dimostrati usando gli iperreali?

Più semplicemente: ha senso chiedersi se è vero il famoso 5° postulato di Euclide e tutti i teoremi che ne derivano?

Per me tutte queste hanno un senso non matematico ma extramatematico.
Per decidere si un teorema è vero devo far riferimento a un mondo esterno alla teoria stessa in cui interpretare gli assiomi e i teoremi.
Una teoria sarà vera in un mondo e falsa in un altro. In questo senso la verità di un teorema non è un fatto assoluto ma relativo: dipende dall'interpretazione (che è un morfismo).

Per me, di una teoria matematica, con tutti i suoi teoremi, ha più senso chiedersi: funziona? mi piace? mi interessa? mi allarga o approfondisce la visuale? mi sento migliore dopo averla studiata?

Possiamo anche chiederci delle grandi domande: migliora l'umanità? serve a qualcosa di pratico? cosa ci guadagno?

Mi cala la palpebra, sono costretto a smettere di scrivere!
Wooooooooo! Grande applauso.

Buona notte.

Gianfranco

[crazydiamond]

grazie, Gianfranco per l'articolata risposta ! va bene il maschile

aggiungo che per me, una "teoria matematica formalizzata", deve soddisfare almeno una proprietà: in essa non deve essere possibile dimostrare (nel senso formale illustrato qui sopra) entrambe le proposizioni "A" e "non-A", per ogni proposizione "A" formulabile in quella teoria (si può dare una definizione formale di "proposizione formulabile"); in caso contrario (cioè se riesco a dimostrare sia "A" che "non-A" per almeno un "A") riuscirei a dimostrare qualsiasi proposizione, e quindi la teoria diventerebbe estremamente banale

p.s. una teoria (matematica o altro), un "modello" risultano tanto più interessanti quanto più riusciamo a dargli un significato : la sintassi corretta va bene, ma senza semantica è un guscio vuoto

[Tino]

Grazie ragazzi,

il mio rispondere "a singhiozzo" e' dovuto al fatto che a casa internet non va ( ) e... il fatto che in cio' che scrivo gli accenti sono surrogati da apostrofi e' dovuto al relativo handicap della tastiera che sto usando.

Comunque... la questione e' nata da una discussione nel forum di matematicamente.it, in cui in effetti sono emersi diversi problemi tra cui per esempio:

La frase "se 3 e' dispari allora e' primo" e' un teorema?

Cosicche', fino a che non avro' una definizione convincente di teorema (forse entro pochi giorni!) non potro' sciogliermi alcuni di questi dubbi/problemi.

@Gianfranco: per "definizione convincente" non intendo dire che la tua (molto bella!) definizione di teorema non sia convincente, intendo solo che mi piacerebbe averne una che usi gli assiomi di qualche logica (..non ho mai fatto un corso di logica).

Scusatemi sono abbastanza di fretta. Approfondiro' la questione.

Ciao ciao.

[panurgo]

La frase "se 3 e' dispari allora è primo" è un teorema?

secondo questa definizione di Teorema, sì

prima sostituisci "è dispari" con "non è divisibile per 2" e ottieni

"se 3 non è divisibile per 2 allora è primo"

poi sostituisci "2" con "tutti i numeri naturali strettamente compresi tra 1 e 3" ed ottieni

"se 3 non è divisibile per tutti i numeri naturali strettamente compresi tra 1 e 3 allora è primo"

che mi sembra un teorema di tutto rispetto

[crazydiamond]

La frase "se 3 e' dispari allora è primo" è un teorema?

secondo questa definizione di Teorema, sì

prima sostituisci "è dispari" con "non è divisibile per 2" e ottieni

"se 3 non è divisibile per 2 allora è primo"

poi sostituisci "2" con "tutti i numeri naturali strettamente compresi tra 1 e 3" ed ottieni

"se 3 non è divisibile per tutti i numeri naturali strettamente compresi tra 1 e 3 allora è primo"

che mi sembra un teorema di tutto rispetto

però siamo tutti d'accordo che "se 7 è dispari allora 7 è un numero primo" non è un teorema !
questa proposizione banalmente vera forse si avvicina di più come senso a quello che intendeva Tino .. o sbaglio ?

p.s. mi sorge un dubbio:
forse "se 7 è dispari allora 7 è un numero primo" E' un teorema ! poiché posso dimostrare come "vera" ogni espressione del tipo "se x allora VERO" per qualsiasi valore di x in (vero, falso) e anche ogni espressione del tipo "se FALSO allora x" -- ho preso un colpo di sole ? help !

[Br1]

help !

Doppio "help!" per me, non capisco

E "se 9 è dispari allora 9 è un numero primo"?

Mi sento come se girassi a vuoto...


PS - Guido, forse è meglio precisare che
al dizionario online di Garzanti bisogna
iscriversi, perché altrimenti compare una
parola che con i teoremi non ha molto a
che fare... almeno per oggi

[crazydiamond]

help !

Doppio "help!" per me, non capisco

E "se 9 è dispari allora 9 è un numero primo"?

Mi sento come se girassi a vuoto...

no questo no perché la proposizione "9 è un numero primo" è FALSA mentre "9 è dispari" è VERA !
però la proposizione "se 9 è pari (FALSO) allora 9 è un numero primo (FALSO)" è VERA ! quindi è un teorema ! (leggila così: se 9 fosse pari ... lo stesso 9 potrebbe benissimo essere un numero primo, perchè se 9 fosse divisibile per 2 la nostra aritmetica sarebbe parecchio differente ... ma questa è una mia interpretazione, Russell non lo dice ...)

[Br1]

Ah

Ho capito cosa intendi, Crazydiamond!
In effetti, l'avevi già detta così anche
prima, ma ho letto di corsa...

Grazie!

[Pasquale]

"se 3 è dispari, allora è primo"
"se 3 è primo, allora è dispari"

Come dice Gianfranco, un teorema (in senso lato) è il culmine di un processo mentale, cioè conclude una dimostrazione e, aggiungerei, acquisisce alla conoscenza una verità o una falsità non evidenti, quali potrebbero essere quelle derivanti da una semplice osservazione o una definizione: un teorema potrebbe tradursi nella generalizzazione di una determinata conoscenza, formulata in modo da non ingenerare equivoci.

"se 3 è dispari, allora è primo" non è dimostrato: è vero che 3 è dispari, ma non è vero che "tutti i numeri dispari sono primi", come indurrebbe a credere la proposizione così come formulata; direi che è un teorema errato, perché basato su un processo mentale errato, incompleto, arbitrario.

"se 3 è primo, allora è dispari" è tutta vera e può derivare più generalmente da "tutti i numeri primi sono dispari" : nel processo mentale, dimostrato che 3 è primo, in quanto non divisibile per 2, si nota che per la stessa ragione è anche un dispari; tenderei quindi a definire la proposizione in questione come un corollario, che comunque ha natura di teorema.

Dunque concordo con Gianfranco.

[panurgo]

p.s. mi sorge un dubbio:
forse "se 7 è dispari allora 7 è un numero primo" E' un teorema ! poiché posso dimostrare come "vera" ogni espressione del tipo "se x allora VERO" per qualsiasi valore di x in (vero, falso) e anche ogni espressione del tipo "se FALSO allora x" -- ho preso un colpo di sole ? help !

In realtà la frase

"se x allora VERO"

non è un teorema perché "VERO" non segue da "x": per veder fallire questa logica è sufficiente porre "x" = "FALSO"

"se FALSO allora VERO"...

[Br1]

Hmmm... ci sono varie cose che, anche
per me, sembrano non tornare.
Ma non ho nessunissima competenza
su questo genere di questioni (due o
tre concetti appena!) in cui peraltro mi
pare che sia molto facile sbandare...

In linea di massima, mi ritrovo anch'io
abbastanza vicino alle considerazioni di
Gianfranco, direi più simili alle cose che
penso di aver capito meglio nella mia
carriera di... non matematico!

Però continuerò a seguirvi, su questo
non ho dubbi

[Tino]

Ed ora che internet va anche a casa posso postare più in tranquillità (e soprattutto, con gli accenti).

se 3 è dispari, allora è primo" non è dimostrato: è vero che 3 è dispari, ma non è vero che "tutti i numeri dispari sono primi", come indurrebbe a credere la proposizione così come formulata; direi che è un teorema errato, perché basato su un processo mentale errato, incompleto, arbitrario.

Tenderei anche io a pensarla come te, il problema è che purtroppo la proposizione "se 3 è dispari allora è primo" è vera secondo la logica tradizionale: 3 è dispari ed è primo, e "vero implica vero" è vero! Se non voglio che questo sia un teorema devo quindi distinguere "teorema" da "cosa vera".

Per questo sono indotto a pensare che in un "teorema" chiamato tale si debba tenere conto della sua dimostrazione come parte integrante, anche se puramente in teoria nessuna proposizione vera ha bisogno di dimostrazione: è vera!
In altre parole: un passaggio di una dimostrazione consiste semplicemente nel riscrivere l'ottenuto in un altro modo, e l'ultimo passaggio deve fornire una "evidenza lampante". Ora: quali proposizioni si possono considerare di evidenza lampante? Secondo me non è facile rispondere. Io opterei per la seguente risposta, anche se non mi convince a vari livelli: tutte le proposizioni vere sono evidenti, è la nostra limitatezza in quanto esseri umani a farcele apparire (eventualmente) di "difficile comprensione".

Questo credo sia anche un problema per gli insegnanti: alcune cose per un insegnante di matematica potrebbero diventare tanto evidenti, quanto per esempio per tutti è "2+2=4", che egli non riesce più a spiegarle se non con uno sguardo attonito che sembra dire "ma come, non è chiaro come la luce del sole?".

Per questo sono d'accordissimo con Gianfranco sul fatto che la questione "cos'è una dimostrazione" sia difficile. Però credo che la risposta sia intimamente legata ad una ragionevole definizione di teorema.

[Gianfranco]

Telegrafico perché purtroppo non ho molto tempo.

Tino, dici:

@Gianfranco: per "definizione convincente" non intendo dire che la tua (molto bella!) definizione di teorema non sia convincente, intendo solo che mi piacerebbe averne una che usi gli assiomi di qualche logica (..non ho mai fatto un corso di logica).

a) ripeto che la mia definizione, che qui preciso meglio:
Definizione di "Teorema"
"Un teorema di una teoria formale T è una fbf (formula ben formata) A di T tale che esiste una dimostrazione la cui ultima fbf e A. Tale dimostrazione è chiamata "dimostrazione d A".

non è una battuta.
E' la definizione (ovviamente metamatematica) di teorema che si trova a pag. 43 del libro di Elliot Mendelson, Introduzione alla logica matematica, Boringhieri. A dispetto del titolo, è un testo di livello universitario.

b) una qualunque definizione di teorema non può usare "gli assiomi di qualche logica" per il semplice motivo che una DEFINIZIONE non USA degli assiomi.
E' una DIMOSTRAZIONE che può usare degli assiomi.

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La frase "se 3 e' dispari allora e' primo" e' un teorema?

Per parlarne seriamente (ma non merita proprio) andrebbe prima di tutto formalizzato nel linguaggio dei predicati del primo ordine + assiomi dell'aritmetica.
Infatti:
"3 è dispari" è un predicato che si può scrivere così D(3)
"3 è primo" è un predicato che si può scrivere così P(3)

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Volendo semplificare, io la vedo così:
D(3) -> P(3)

E' un'implicazione in cui l'antecedente è vero e il conseguente è vero, perciò è vera.
Se è vera, esiste una dimostrazione di cui essa è l'ultima proposizione.
Quindi è un teorema. Un teorema di cui bisognerebbe vergognarsi, ma pur sempre un teorema.

E' un teorema di quelli della serie:
Se Roma è la capitale d'Italia, allora il tavolo della mia cucina ha 4 gambe.
-------------------

Se invece passiamo ai quantificatori, le cose cambiano.

per qualsiasi x: D(x) -> P(x)

"se x e' dispari allora x e' primo"

Non è un teorema, infatti ci sono infiniti controesempi.
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Gianfranco