Abel e Ruffini si sbagliavano !

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modulocomplicato
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Abel e Ruffini si sbagliavano !

Messaggio da modulocomplicato »

Abel e Ruffini si sbagliavano !

Ovviamente provocatorio il titolo, purtroppo per la matematica vero se si comprenderà che il concetto di Radicale è ben più ampio di quanto fino ad ora conclamato.

Quindi: se e solo se si specifica che per Radicale si intende una soluzione che preveda unicamente numeri razionali e/o radici ennesime di razionali, (quindi di equazioni del tipo X^n=cost) allora Abel Ruffini è corretto.

Vi ricordate la mia teoria: sia R1 una radice ennesima intera, allora

$ R1^n= \sum_{1}^{R1} (X^n-(X-1)^n) $

Ma il concetto di Radicale è ben più esteso, in quanto sono anche Radicali gli zeri di un polinomio di qualsiasi grado aX^n+BX^n-1 etc... e il concetto di Estrazione di Radice, va esteso anche ai polinomi completi, non solo a quelli del tipo X^n=cost.

Cioè è possibile con lo stesso "metodo generale"/ "algoritmo" trovare sia la radice di X^5-X+1=0 che di X^n (e di qualsiasi altro polinomio).

La soluzione è davvero banale ed è il culmine della mia algebra a modulo complicato. Se ad alcuni sembrerà un metodo numerico, a ben riflettere concorderete che non lo è per quanto detto sopra e cioè che l'algoritmo di estrazione di una radice ennesima altro non è che un caso particola di quello che ora andrò a descrivere.

Per chiarirci potremmo dire che stiamo per fare l'estrazione di una radice R1 (ad esempio n-esima) ma "sghemba", cioè anzichè seguire l'algoritmo di differenza ricorsiva (X^n-(X-1)^n) che con una certa pendenza porta a quadrare la classica derivata Y=nX^-n1, e cioè a raggiungere tramite la somma telescopica la potenza cercata R1^n, seguiremo una nuova derivata Razionale che è caratterizzata dallla somma algebrica delle varie derivate razionali di ogni singolo termine dell'equazione in esame.

Bando alle ciance ecco il metodo per X^5-X+1=0.

Cerchiamo quindi le radici (R1..Rx..R5) tali per cui Rx^5-Rx =-1

E già quì ci liberiamo di un problema: poco ci preoccupa che segno abbia il termine noto in quanto sarà semplice quesitone di invertire tutti i segni dei termini sommandi nel caso la costante da raggiungere, come in questo caso, sia negativa.

Se una soluzione Rx fosse un intero allora potremmo scrivere secondo l'algebra nota, sostituendo ad R1^n la relativa sommatoria:

$\sum_{1}^{R1x} -(X^5-(X-1)^5) - \sum_{1}^{R1x} -1 = -1 $ che equivale a dire che il nostro algoritmo di estrazione è del tipo:

$ \sum_{1}^{R1x} (-(X^5-(X-1)^5)+1) = -1 $

Quindi trovare la radice R1x significa trovare il Limite superiore Rx delle sommatorie tali per cui

effettuando il percorso inverso e cioè la differenza ricorsiva

utilizzando come termine incrementale (il mio Modulo complicato) [(X^5-(X-1)^5)-1] partendo da X=1 e sottraendo il risultato dalla costante, nota, si giunga ad un valore di Rx per cui l'ultima sottrazione possibile di -[(X^5-(X-1)^5)-1] calcolato per X=Rx porti resto zero.

Ovviamente se ci proviamo con X^5-X=-1 vediamo che X=-1 è troppo piccolo (cioè ci troviamo con un resto) e X=-2 è troppo grande.

Dobbiamo quindi utilizzare un "Modulo" più fine cioè in grado di operare anche con X razionali, che si ottiene con un semplice cambio di variabile x=X/k e porta a mio solito Modulo Complicato Razionale M_n,k (ed al suo alterego per le radici di numeri negativi M_n,k,i):

Ricordo:

$ M_{n,K}= {n \choose 1}\frac{x^{n-1}}{K} - {n \choose 2}\frac{x^{n-2}}{K^2} + {n \choose 3}\frac{x^{n-3}}{K^3} -... +/- \frac{1}{K^n} $

E di conseguenza sostituendo nella quintica abbiamo che la sommatoria che porta a passi razionali a -1 dovrà essere del tipo:

$ \sum_{1}^{R1x} 5 \frac{x^{5-1}}{K} - 10 \frac{x^{3}}{K^2} +10\frac{x^{2}}{K^3} -5 \frac{x}{K^4} +2 \frac{1}{K^5} = -1 $

che ovviamente differisce dalla radice ennesima per la sola aggiunta del termine che rappresenterà X (cioè R1x) che vale

$ X= \sum_{1}^{R1x} 1\frac{1}{K^5} = R1* $

Cioè stiamo per effettuare un'estrazione di radice, cioè una differenza ricorsiva a partire da -1 per arrivare (possibilmente) a zero individuando così la nostra Radice incognita R1x. (e potrebbero essercene più d'una).

Ponendo K=1 individueremo la parte intera della Radice Rx, mentre ponendo K=10^m è possibile ottenere la m esima cifra decimale della radice Rx.

2 casi:

Quando ad un certo m il nostro algoritmo di estrazione della radice restituisce resto zero, allora quella è la nostra radice Rx (razionale).

Se vediamo che la sottrazione non si ferma, cioè continuiamo ad avere sempre un resto pura aumentando continuamente m, allora 2 casi:


- se individuiamo una periodicità nelle cifre decimali avremo individuato una radice razionale (con infinite cifre decimali, ma che periodicamente si ripetono)

- se non la individuiamo allora abbiamo per le mani una radice con valore irrazionale

Il metodo è quindi generale, vale per qualsiasi polinomio di grado n... e se sostituissimo al simbolo di radice, quello più generale di radice per come quì descritto fornisce sempre una soluzione per radicali.

Posto che il numero che otterremo, se irrazionale, in entrambi i casi non riusciremo mai a scriverlo fino all'ultima cifra...

Ecco la tabella con l'estrazione di radice con 4 decimali: la differenza ricorsiva presenta un resto, quindi i decimali continuano oltre ili 4°... ma intanto abbiamo il nostro radicale con una certa approssimazione...

Immagine

http://shoppc.maruelli.com/TWO-HAND-CLO ... ACTION.jpg

Una spiegazione un po' più completa quì:

http://shoppc.maruelli.com/TWO-HAND-CLO ... ls-are.pdf

Ciao devo andare a vaccinarmi... al rientro sistemerò come riesco...

modulocomplicato
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Re: Abel e Ruffini si sbagliavano !

Messaggio da modulocomplicato »

A color di cui il precedente scritto non chiaro fosse, allego esempio della risoluzione di una semplice equazione di 2° grado X^2-5X+6=0 con radici intere. Ricordo che al posto di x^2 si mette la sommatoria da 1 a Rx di 2x-1, posto di x si mette la sommatoria da 1 a Rx di 1, per cui la sommatoria il cui limite superiore andiamo cercando è:

$\sum_{1}^{Rx} 2X-6 = -6 $

Che si risolve con le sottrazioni ricorsive di cui sotto:

Roots of (X^2-5X+6=0)
...........Diff. from
X... 2X-6... 6
1... -4.... 2
2... -2.... 0 first root
3.... 0.... 0 second root



la formula risolutiva nota implica comunque l'estrazione, in qualche modo, della radice quadrata del discriminante, operazione che senza calcolatrice si può compiere (per numeri non semplici) solo con un algoritmo, o la mia differenza ricorsiva che è l'opposto di

$\sum_{1}^{Rx} 2X-1 = \Delta $

ove delta è ovviamente il discriminante in questione.

Quindi estendendo il concetto di radicale a quanto descritto esiste un metodo generale di calcolo delle radici di equazioni polinomiali di qualsiasi grado.

modulocomplicato
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Re: Abel e Ruffini si sbagliavano !

Messaggio da modulocomplicato »

Tutto questo pone una interessante domanda: perchè la soluzione di X^5-X+1=0 è -1,16..... e la radice di -1 = i ? Per una ormai superata convenzione, discriminatoria quanto accecante: i numeri immaginari sono erroneamente posti su un asse ortogonale alla retta dei numeri reali ! So che sarà un grosso rospo da digerire... ma quando capisci che la radice (ennesima) di un numero negativo è solo un caso speciale di una più vasta gamma di radicali che danno risultato negativo, allora capisci che se pur la convenzione funziona, non c'è alcuna ragione per non mettere ad esempio radice di due e radice di meno due sullo stesso asse, in posizione simmetrica rispetto allo zero. Il punto, però, è che su quell'asse ci sono come unità di misura i giri del mio orologio a 2 lancette, e non dei semplici "numeri". Ne vedremo delle belle ma credo cercheranno di tenere il tutto il più possibile sotto al tappeto... Io intanto accresco il mucchio delle errate credenze matematiche generate da definizioni rigorosissime... ma troppo restrittive, quindi prive di più interessante validità generale. (e non sto dicendo che qualcuno ha toppato, solo che scavando c'è sempre da tirar fuori qualcosa di nuovo, per fortuna...)

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