Ancora di urna e di palline

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Moderatori: Gianfranco, Bruno

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franco
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Ancora di urna e di palline

Messaggio da franco »

Abbiamo un certo numero di palline Rosse, Verdi e Blu.
Mettendo in un'urna solo quelle Rosse e Blu, ho esattamente una probabilità su due che pescandone una coppia (*) le palline siano dello stesso colore.
La stessa probabilità (1/2) si riscontra mettendo nell'urna solo le palline Verdi e Blu.
Mettendo infine nell'urna tutte le palline, la probabilità di estrarre una coppia monocromatica è pari esattamente a 11/32.

- Determinare il numero di palline Blu.
- Calcolare la probabilità di estrarre una coppia monocromatica dopo aver messo nell'urna solo le palline Rosse e Verdi

(*) si intende che la seconda pallina deve essere estratta senza rimettere nell'urna la prima


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Franco

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panurgo
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Re: Ancora di urna e di palline

Messaggio da panurgo »

Siano $x$, $y$ e $z$, rispettivamente, il numero di palline Rosse, Verdi e Blu.

Sulla base del Principio di Indifferenza assegneremo delle probabilità proporzionali al numero di modi in cui possono esse prese le "coppie": due palline Rosse ($RR$) possono essere prese in $\displaystyle x \choose 2$ modi, due palline Verdi ($GG$) in $\displaystyle y \choose 2$ modi e due palline Blu ($BB$) in $\displaystyle z \choose 2$.

Abbiamo quattro ipotesi di lavoro:

$\begin{array}{lC}
H_1\equiv\text{ palline Rosse e Verdi} \\
H_2\equiv\text{ palline Rosse e Blu} \\
H_3\equiv\text{ palline Verdi e Blu} \\
H_4\equiv\text{ palline Rosse, Verdi e Blu}
\end{array}$

i modi in cui possono essere pescate due palline qualsiasi sotto le quattro ipotesi sono $\displaystyle x+y \choose 2$, $\displaystyle x+z \choose 2$, $\displaystyle y+z \choose 2$ e $\displaystyle x+y+z \choose 2$ rispettivamente.

Assegneremo dunque le probabilità

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|C}
\hline
& RR & GG & BB & RR\vee GG\vee BB \\
\hline
H_1 & \displaystyle \frac{{x \choose 2}{y \choose 0}}{x+y \choose 2} & \displaystyle \frac{{x \choose 0}{y \choose 2}}{x+y \choose 2} & 0 & \displaystyle \frac{{x \choose 2}{y \choose 0}+{x \choose 0}{y \choose 2}}{x+y \choose 2}=p \\
\hline
H_2 & \displaystyle \frac{{x \choose 2}{z \choose 0}}{x+z \choose 2} & 0 & \displaystyle \frac{{x \choose 0}{z \choose 2}}{x+z \choose 2} & \displaystyle \frac{{x \choose 2}{z \choose 0}+{x \choose 0}{z \choose 2}}{x+z \choose 2}=\frac12 \\
\hline
H_ 3& 0 & \displaystyle \frac{{ y \choose 2}{z \choose 0}}{y+z \choose 2} & \displaystyle \frac{{ y \choose 0}{z \choose 2}}{y+z \choose 2} & \displaystyle \frac{{ y \choose 2}{z \choose 0}+{ y \choose 0}{z \choose 2}}{y+z \choose 2}=\frac12 \\
\hline
H_4 & \displaystyle \frac{{x \choose 2}{y \choose 0}{z \choose 0}}{x+y+z \choose 2} & \displaystyle \frac{{x \choose 0}{y \choose 2}{z \choose 0}}{x+y+z \choose 2} & \displaystyle \frac{{x \choose 0}{y \choose 0}{z \choose 2}}{x+y+z \choose 2} & \displaystyle \frac{{x \choose 2}{y \choose 0}{z \choose 0}+{x \choose 0}{y \choose 2}{z \choose 0}+{x \choose 0}{y \choose 0}{z \choose 2}}{x+y+z \choose 2}=\frac{11}{32} \\
\hline
\end{array}$

Otteniamo il sistema

$\left\{\begin{array}{lC}
\displaystyle \frac{x\left(x-1\right)+y\left(y-1\right) }{\left(x+y\right)\left(x+y-1\right)}=p \\
\displaystyle \frac{x\left(x-1\right)+z\left(z-1\right)}{\left(x+z\right)\left(x+z-1\right)}=\frac12 \\
\displaystyle \frac{y\left(y-1\right)+z\left(z-1\right)}{\left(y+z\right)\left(y+z-1\right)}=\frac12 \\
\displaystyle \frac{x\left(x-1\right)+y\left(y-1\right)+z\left(z-1\right)}{\left(x+y+z\right)\left(x+y+z-1\right)}=\frac{11}{32}
\end{array}\right.$

da cui ricaviamo, con facile(?) algebra

$\left\{\begin{array}{lC}
\displaystyle p=\frac{23}{43} \\
\displaystyle x=15 \left(28\right) \\
\displaystyle y=28 \left(15\right) \\
\displaystyle z=21
\end{array}\right.$

Il punto di domanda si riferisce al fatto che l'algebra l'ha sbrogliata WolframAlpha :wink:

I numeri fra parentesi si riferiscono al fatto che $x$ e $y$ sono tra loro intercambiabili.
il panurgo

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franco
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Re: Ancora di urna e di palline

Messaggio da franco »

Chapeau!
Franco

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Gianfranco
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Re: Ancora di urna e di palline

Messaggio da Gianfranco »

Ottimo Panurgo!
Io l'ho risolto con Maxima usando i principi di somma e prodotto di probabilità.
Allego la schermata della risoluzione, solo per documentare che anche Maxima è carino e pratico.
prob_franco.png
prob_franco.png (129.5 KiB) Visto 2325 volte
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

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