Triangolazione magica

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Moderatori: Gianfranco, Bruno

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giobimbo
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Triangolazione magica

Messaggio da giobimbo »

Abbiamo una scacchiera 3x3 e una 4x4 in cui ogni casella è divisa in due triangoli come nella figura sotto:
Triangolazione magica.png
Triangolazione magica.png (14.69 KiB) Visto 326 volte
Problema 1 (facile):
dato un insieme E1 contenente n numeri consecutivi, con n>=18, mettere nelle caselle triangolari della 3x3 18 numeri (tutti diversi) scelti da tale insieme in modo che le somme dei numeri di ogni riga siano uguali alle somme dei numeri di ogni colonna.

Problema 2 (meno facile):
dato un insieme E2 contenente n numeri consecutivi, con n>=32, mettere nelle caselle triangolari della 4x4 32 numeri (tutti diversi) scelti da tale insieme in modo che le somme dei numeri di ogni riga siano uguali alle somme dei numeri di ogni colonna.

P.S. Non necessariamente i numeri di E devono andare da 1 a n, possono partire da un qualsiasi numero m>=1. Infine, E1 ed E2 devono essere i più piccoli possibili.

Un esempio con una scacchiera 2x2, quindi con E contenente almeno 8 elementi:
03…00…04…00
00…13…00…12
05…00…06…00
00…11…00…10 con somma magica 32 e E={3, 4, …, 13} è una soluzione, ma

01…00…02…00
00…09…00…08
03…00…04…00
00…07…00…06 con somma magica 20 e E={1, 2, …, 9} è migliore, anzi, ottimale, perché più piccolo di così non si può.

Bruno
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Re: Triangolazione magica

Messaggio da Bruno »

giobimbo ha scritto:
mer apr 14, 2021 9:45 am
...ma

01…00…02…00
00…09…00…08
03…00…04…00
00…07…00…06 con somma magica 20 e E={1, 2, …, 9} è migliore, anzi, ottimale, perché più piccolo di così non si può.


Sicuro, Giobimbo? O era uno scherzo? Oppure non ti ho capito?

Triangolazione magica di Giobimbo.jpg
Triangolazione magica di Giobimbo.jpg (9.43 KiB) Visto 320 volte
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giobimbo
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Re: Triangolazione magica

Messaggio da giobimbo »

Hai capito benissimo, errore mio :oops:
Tra l'altro ho anche sbagliato titolo, avrei dovuto mettere triangolazione semi-magica. Mi sembrava di ricordare che un quadrato magico - ma senza le diagonali magiche - si chiamasse così ma non trovavo niente nei miei libri; oggi cercando su Internet ho visto che la risposta si trovava... su Base Cinque.

franco
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Re: Triangolazione magica

Messaggio da franco »

Anche io ho il dubbio di aver capito male ...

Nel quadrato 3x3 posso mettere i numeri da 1 a 18 accoppiandoli in modo da avere somma 19 in ogni quadratino (1-18, 2-17, 3-16, ..).
A quel punto ogni riga e colonna somma 3x19=57

Analogamente riempio la scacchiera 4x4 con le coppie a somma 33: 1-32, 2-31, 3-30, ...
Somma righe e colonne 4x33=132

Mi sembra troppo facile ... forse sto interpretando male il problema
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giobimbo
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Re: Triangolazione magica

Messaggio da giobimbo »

Aggiungendo il poscritto, fatto al volo senza tanti controlli, fatto diversi giorni dopo aver preparato tutto, ho fatto una grande confusione, dimenticando la base da cui ero partito.
Le somme dei due numeri di ogni casella devono essere tutte diverse, altrimenti è davvero troppo facile. Una aggiunta disastrosa che ha rovinato un simpatico problema.

franco
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Re: Triangolazione magica

Messaggio da franco »

Se ogni quadratino deve avere somma diversa, il quadrato 2x2 mi sembra non abbia soluzioni:
triangolazioni01.PNG
triangolazioni01.PNG (3.66 KiB) Visto 279 volte
Se la somma delle righe deve essere uguale alla somma delle colonne, allora $a+b = a+c$ e quindi $b = c$ (e di conseguenza $a=d$), contraddicendo l'ipotesi di cui sopra.

Questo però non significa che non ci siano soluzioni per i quadrati 3x3 e/o 4x4
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Re: Triangolazione magica

Messaggio da franco »

Partendo da un triangolo magico 3x3 ben noto, con pochi passaggi arrivo a una soluzione che credo sia valida.
triangolazioni02.PNG
triangolazioni02.PNG (62.33 KiB) Visto 265 volte
(non sono riuscito a mettere le cifre ben dentro i triangolini ...)

La somma magica è 60 (anche sulle diagonali) e E = {1, 2, …, 22}

E' molto probabile che si possa fare di meglio.
Franco

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Bruno
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Re: Triangolazione magica

Messaggio da Bruno »

Bravo Franco :D
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Re: Triangolazione magica

Messaggio da giobimbo »

Molto bene Franco, sei stato velocissimo.
Questa è la mia soluzione, con somma magica 57, anch'essa con le diagonali a somma magica 57.

10…00…07…00…09…00
00…12…00…08…00…11
04…00…05…00…03…00
00…13…00…14…00…18
02…00…06…00…01…00
00…16…00…17…00…15

Con scacchiera 4x4 invece (SE&O) sembra impossibile ottenere un quadrato magico perfetto, solo quadrati semi-magici (righe e colonne).

giobimbo
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Re: Triangolazione magica

Messaggio da giobimbo »

Correzione dell'ultima ora, anche per la scacchiera 4x4 esiste un quadrato magico. Il titolo "Triangolazione magica" è stato profetico. Adesso vediamo chi riesce a trovarne uno.

giobimbo
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Re: Triangolazione magica

Messaggio da giobimbo »

Scrivendo che il problema 2 è “meno facile” in realtà ho usato un eufemismo, visto che per ben due volte dissi a mia moglie che abbandonavo la ricerca, che smettevo, che non esisteva soluzione. E questo in riferimento al 4x4 semimagico, con le diagonali a somma non magica! Adesso pretendo che il quadrato 4x4 sia magico, allora ecco un suggerimento:

provare con la somma magica 192

che dovrebbe essere la minima, come 57 dovrebbe essere la minima per il 3x3. Salvo errori, magari dovuti al modo in cui io ci ho lavorato sopra.

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