Scalinate di mattoni

Il forum di Base5, dove è possibile postare problemi, quiz, indovinelli, rompicapo, enigmi e quant'altro riguardi la matematica ricreativa e oltre.

Moderatori: Gianfranco, Bruno

giobimbo
Livello 5
Livello 5
Messaggi: 269
Iscritto il: sab nov 19, 2005 5:14 pm
Località: Biella

Scalinate di mattoni

Messaggio da giobimbo »

Abbiamo una fila F1 di n mattoni; su di essa poniamo un’altra fila F2 di (n-1) mattoni; su di essa poniamo un’altra fila F3 di (n-2) mattoni; su di essa poniamo… e via ponendo fino ad arrivare alla fila Fn composta da un solo mattone col numero m. I mattoni sono numerati ognuno con un numero diverso, scelto dall’insieme E={1, 2, …, m} mentre i numeri di ogni fila sono disposti in ordine decrescente. E poi la somma dei numeri di ogni fila dà sempre m,
Dato n vogliamo trovare la scalinata in cui il mattone di Fn ha il minimo valore possibile.

Tralasciando il caso banale di n=1 abbiamo che per n=2 Min(m)=3:
3
2 1
mentre per n=3 abbiamo Min(m)=8:
8
6 2
4 3 1

Problema 1 (facile): trovare tutte le possibili scalinate per n=4

Problema 2 (meno facile): trovare delle scalinate (sempre con il più piccolo valore possibile di m) la cui base F1 sia formata da 5 mattoni.

Pasquale
Livello 12
Livello 12
Messaggi: 2670
Iscritto il: mer mag 25, 2005 2:14 am

Re: Scalinate di mattoni

Messaggio da Pasquale »

Vediamo se ho capito i termini del problema.
A parte la ricerca sul valore minimo di "m", andrebbero bene le seguenti soluzioni, ammesso che siano tutte quelle possibili ?

15
9 - 6
7 - 5 - 3
8 - 4 - 2 - 1

15
9 - 6
8 - 4 - 3
7 - 5 - 2 - 1

15
8 - 7
9 - 5 - 1
6 - 4 - 3 - 2

15
8 - 7
9 - 4 - 2
6 - 5 - 3 - 1

Così modificato e integrato
Ultima modifica di Pasquale il sab mar 20, 2021 7:06 pm, modificato 1 volta in totale.
_________________

\text {   }ciao Immagine ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)

giobimbo
Livello 5
Livello 5
Messaggi: 269
Iscritto il: sab nov 19, 2005 5:14 pm
Località: Biella

Re: Scalinate di mattoni

Messaggio da giobimbo »

Bene Pasquale, allora Min(m)=15...

ma la terza scalinata è identica alla prima. Penso però che tu ti sia solo sbagliato a scrivere perché in effetti ci sono tre soluzioni.
Il problema 1 (facile) è quasi risolto.

Pasquale
Livello 12
Livello 12
Messaggi: 2670
Iscritto il: mer mag 25, 2005 2:14 am

Re: Scalinate di mattoni

Messaggio da Pasquale »

Si, considerata l'ora di compilazione, ho sbagliato a copiare dalla brutta che non era tanto bella :D
Comunque sopra ho corretto e aggiunto una quarta soluzione.

Già che ci sono, parto con una prima proposta per la base da 5:

27
16-11
14-8-5
10-7-6-4
12-9-3-2-1
_________________

\text {   }ciao Immagine ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)

giobimbo
Livello 5
Livello 5
Messaggi: 269
Iscritto il: sab nov 19, 2005 5:14 pm
Località: Biella

Re: Scalinate di mattoni

Messaggio da giobimbo »

Molto bene, anche il problema 2 (meno facile) è risolto, Min(m)=27
Aggiungo solo che la tua scalinata “corretta” non la conoscevo, mi era sfuggita, la mia era:

15
08 07
06 05 04
09 03 02 01

quindi ci sono più di 3 scalinate con base di 4 mattoni, errore mio.

Pasquale
Livello 12
Livello 12
Messaggi: 2670
Iscritto il: mer mag 25, 2005 2:14 am

Re: Scalinate di mattoni

Messaggio da Pasquale »

Forse ti è sfuggita la correzione con integrazione fatta più su. Eravamo già a 4 soluzioni e con la tua ultima siamo a 5, ma già che ci siamo ne aggiungo un'altra e finiamo a 6.

Riepilogo:
piramidi.jpg
piramidi.jpg (10.55 KiB) Visto 405 volte
_________________

\text {   }ciao Immagine ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)

Pasquale
Livello 12
Livello 12
Messaggi: 2670
Iscritto il: mer mag 25, 2005 2:14 am

Re: Scalinate di mattoni

Messaggio da Pasquale »

Ecco un po' di soluzioni derivate dalla iniziale piramide riportata in cima e dalle sue derivate, ma non sono tutte le possibili, perché non ho continuato con le derivate delle derivate, che ho potuto constatare esistenti. :shock: :shock:
Penso che la ricerca potrà considerarsi completa al momento in cui tutte le derivate individuate non produrranno più alcuna nuova soluzione diversa da tutte quelle già individuate.
Dunque, mi sono fermato qui, perché trattasi di un lavoraccio, che richiede tempo, attenzione, confronti, ecc. Magari ci sarebbe da appurare se m=27 è il minimo possibile,
Comunque se ti va di continuare la ricerca, ti auguro buon lavoro :mrgreen:
.
.
piram5.jpg
piram5.jpg (65.61 KiB) Visto 389 volte
_________________

\text {   }ciao Immagine ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)

Pasquale
Livello 12
Livello 12
Messaggi: 2670
Iscritto il: mer mag 25, 2005 2:14 am

Re: Scalinate di mattoni

Messaggio da Pasquale »

A seguito di approfondito e faticoso studio, posso oggi asserire convintamente, che la "piramide di base 5, edificata qui su Base5, può essere espressa in ben 130 varianti.
Procedendo per tappe, ho trovato che i vertici possono assumere solo i seguenti valori, riportati in orizzontale:

1) 27 -> 17-10
2) 27 -> 16-11
3) 27 -> 14-13

il primo vertice accetta esclusivamente le seguenti terzine con somma 27 (seguono a lato, a completamento di ogni piramide, le righe da 4 e 5 numeri):

13-12-02 -> 11-09-06-01 / 08-07-05-04-03 -> (6)
13-11-03 -> 12-09-04-02 / 08-07-06-05-01 -> (6)
13-09-05 -> 11-08-07-01 / 12-06-04-03-02 -> (5)
13-08-06 -> 11-09-04-03 / 12-07-05-02-01 -> (5)
12-11-04 -> 13-06-05-03 / 11-09-04-02-01 -> (2)
12-09-06 -> 13-11-02-01 / 08-07-05-04-03 -> (5)
12-08-07 -> 11-09-04-03 / 13-06-05-02-01 -> (5)
11-09-07 -> 12-08-05-02 / 13-06-04-03-01 -> (5)

per il secondo sono ammessi:

14-12-01 -> 10-08-06-03 / 09-07-05-04-02 -> (8)
14-10-03 -> 12-07-06-02 / 09-08-05-04-01 -> (6)
14-09-04 -> 12-10-03-02 / 08-07-06-05-01 -> (6)
14-08-05 -> 12-07-06-02 / 10-09-04-03-01 -> (5)
14-07-06 -> 12-10-03-02 / 09-08-05-04-01 -> (6)
12-10-05 -> 09-08-06-04 / 14-07-03-02-01 -> (4)
12-09-06 -> 14-07-05-01 / 10-08-04-03-02 -> (4)
12-08-07 -> 14-06-04-03 / 10-09-05-02-01 -> (3)
10-09-08 -> 12-06-05-04 / 14-07-03-02-01 -> (5)

per il terzo vertice:

15-11-01 -> 09-08-07-03 / 10-06-05-04-02 -> (6)
15-10-02 -> 11-09-06-01 / 08-07-05-04-03 -> (6)
15-09-03 -> 11-08-07-01 / 10-06-05-04-02 -> (5)
15-08-04 -> 09-07-06-05 / 11-10-03-02-01 -> (7)
15-07-05 -> 10-08-06-03 / 11-09-04-02-01 -> (4)
11-10-06 -> 15-07-03-02 / 09-08-05-04-01 -> (6)
11-09-07 -> 15-05-04-03 / 10-08-06-02-01 -> (5)
10-09-08 -> 15-07-03-02 / 11-06-05-04-01 -> (5)

Si trova che non esistono altri vertici possibili, diversi dai 25 elencati, che possano esprimere una piramide completa con le righe da 4 e da 5.
Ognuno dei 25 vertici può accettare righe da 4 e da 5, ciascuno in misura diversa, per un totale complessivo di 130 piramidi complete.

A tanto sono giunto dopo aver dato ausilio alla carta e penna con una spintarella fornita dal Sign, Decimal Basic, al quale ho affidato compiti parziali, ricuciti in modo da trarre le conclusioni di cui sopra, ove ho trascritto le 25 piramidi scritte in orizz0ntale. A fine riga di ogni piramide sono indicate le quantità di piramidi producibili da ciascuna, operando opportunamente sulle righe da 4 e da 5 (il numero fra parentesi comprende anche la piramide generatrice stessa).
Di seguito riporto un esempio di generazione di altre piramidi tutte fra loro diverse, operando opportunamente sulla prima delle 25 in elenco. La diversità è importante per le piramidi derivate da una stessa generatrice, altrimenti si avrebbero dei doppioni, mentre quarte e quinte righe uguali derivate da piramidi diverse fra le 25 elencate, non creerebbero doppioni, dal momento che i vertici fino alle righe da 3 numeri sarebbero comunque diversi fra loro.

(1)
27
17-10
13-12-02
11-09-06-01
08-07-05-04-03

Lasciando inalterate le prime 3 righe, opero degli scambi fra la riga da 4 e quella da 5, tali che la somma dei numeri in ogni riga non differisca dal totale di 27:

(2)
09-08-06-04
11-07-05-03-01

(3)
09-07-06-05
11-08-04-03-01

(4)
11-08-07-01
09-06-05-04-03

(5)
11-07-06-03
09-08-05-04-01

(6)
11-09-04-03
08-07-06-05-01

Replicando dunque il procedimento per ognuna delle 25 piramidi indicate si giungerà al totale di 130. Buon divertimento agli uomini di buona volontà :D
Ultima modifica di Pasquale il mer mar 24, 2021 12:54 am, modificato 1 volta in totale.
_________________

\text {   }ciao Immagine ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)

Bruno
Livello 9
Livello 9
Messaggi: 1599
Iscritto il: lun nov 21, 2005 6:07 pm
Località: Bologna

Re: Scalinate di mattoni

Messaggio da Bruno »

Caro Pasquale, bisogna crederti sulla parola :mrgreen:

Il tuo è un elaborato poderoso :D

Certo, in prima battuta avrei preferito 24 a 27, per la base 5...
(Bruno)

...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}

Pasquale
Livello 12
Livello 12
Messaggi: 2670
Iscritto il: mer mag 25, 2005 2:14 am

Re: Scalinate di mattoni

Messaggio da Pasquale »

Non è improbabile che nelle routine utilizzate per studi parziali non mi sia accorto di qualche errore che abbia escluso soluzioni con somma minore di 27, nell'ambito di piramidi con base da 5 numeri. Potresti postarne qualcuna con somma 24 ?
Per quanto riguarda la somma 27, trattandosi di una costruzione artigianale, una volta tirate giù su carta le 130 certe soluzioni annunciate , traendole dalle 25 già postate, con opportuni scambi fra le righe con 4 e 5 numeri, sarebbe più agevole effettuare confronti e controlli. Possiamo tranquillamente parlare anche di congettura, in attesa di una 131esima soluzione diversa.
Postare le 130 soluzioni annunciate sarebbe una faticaccia, considerato che non a tutti potrebbe interessare, ma non sarebbe nemmeno agevole effettuare i vari controlli, dal momento che non entrerebbe tutto in una sola schermata.
In sostanza, di più non mi è stato possibile. :?
_________________

\text {   }ciao Immagine ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)

Bruno
Livello 9
Livello 9
Messaggi: 1599
Iscritto il: lun nov 21, 2005 6:07 pm
Località: Bologna

Re: Scalinate di mattoni

Messaggio da Bruno »

Pasquale ha scritto:
mer mar 24, 2021 12:11 am
Potresti postarne qualcuna con somma 24 ?

Non riesco a cimentarmi, Pasquale, in questo momento.
La mia considerazione moveva da un fatto semplice: con 3 abbiamo 8, con 4 abbiamo 15, così con 5 avrei pensato a 24.
Tuttavia non so se ciò sia possibile :roll:
(Bruno)

...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}

Pasquale
Livello 12
Livello 12
Messaggi: 2670
Iscritto il: mer mag 25, 2005 2:14 am

Re: Scalinate di mattoni

Messaggio da Pasquale »

OK. A me risulta impossibile anche con 25 e 26, ma se anche altri vogliono provare, magari può darsi pure che trovi una soluzione intermedia fra 24 e 27. io ci ho provato senza successo ed anzi ho ampliato la ricerca anche alle piramidi con base da 6, che al momento sembrerebbero di somma 39, come dall'esempio che segue:

39
21 18
13 15 11
07 12 01 19
02 05 10 16 06
09 03 04 08 14 01
_________________

\text {   }ciao Immagine ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)

giobimbo
Livello 5
Livello 5
Messaggi: 269
Iscritto il: sab nov 19, 2005 5:14 pm
Località: Biella

Re: Scalinate di mattoni

Messaggio da giobimbo »

Bravo Pasquale, così si fa, non accontentarsi di quello che piove dall’alto ma approfondire, indagare; trovare eventuali errori o cose nuove che erano sfuggite. Non intervengo in merito alle piramidi perché come programmatore io sono all’ABC come Babbage, mentre tu sei a livello XYZ come Turing (+ o - :wink: ).
Questo problemino è importante per me non per il suo contenuto matematico ma perché segna una svolta nel mio modo di pensare, non solo coi numeri da 1 a n ma dai numeri da 1 a m scelti dall’insieme dei numeri da 1 a n, con n>m ovviamente. Però la mia prossima proposta, rivisitazione di un classico della matematica ricreativa, userà ancora il vecchio metodo.

Gianfranco
Supervisore del sito
Supervisore del sito
Messaggi: 1281
Iscritto il: ven mag 20, 2005 9:51 pm
Località: Sestri Levante
Contatta:

Re: Scalinate di mattoni

Messaggio da Gianfranco »

Pasquale ha scritto:
gio mar 25, 2021 4:18 am
OK. A me risulta impossibile anche con 25 e 26, ma se anche altri vogliono provare, magari può darsi pure che trovi una soluzione intermedia fra 24 e 27. io ci ho provato senza successo ed anzi ho ampliato la ricerca anche alle piramidi con base da 6, che al momento sembrerebbero di somma 39, come dall'esempio che segue:

39
21 18
13 15 11
07 12 01 19
02 05 10 16 06
09 03 04 08 14 01
Ciao Pasquale, seguo ammirato i tuoi risultati in questa discussione. Bravissimo!
Non sono ancora intervenuto perché non sono in grado di aggiungere nulla di nuovo.

La piramide del 39 mi sembrava un bel risultato ma ho notato che il numero 01 è ripetuto 2 volte, purtroppo.
Per fare i primi 4 livelli servono 18 numeri distinti, ma tu ne usi soltanto 17, per cui è inevitabile una ripetizione.
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

Bruno
Livello 9
Livello 9
Messaggi: 1599
Iscritto il: lun nov 21, 2005 6:07 pm
Località: Bologna

Re: Scalinate di mattoni

Messaggio da Bruno »

Peccato, sì, per quell'1 ripetuto :(


giobimbo ha scritto:
mer apr 07, 2021 11:23 am
Bravo Pasquale, così si fa, non accontentarsi di quello che piove dall’alto ma approfondire, indagare...

Be', per la mia esperienza, Giobimbo, posso dire che fra i basecinquini nessuno si accontenta e, avendo tempo, idee e mezzi, si approfondisce, s'indaga :wink:

Pasquale, comunque, è un fuoriclasse :D
(Bruno)

...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}

Rispondi