Caro Enrico,
ti ringrazio di cuore per la spiegazione, l'ho inserita nella pagina che sto preparando.
rinnovo l'invito anche a Panurgo e/o Franco, se vogliono e hanno tempo, di preparare una spiegazione PER PRINCIPIANTI dell'altra soluzione.
Caro Panurgo,
mi inchino di fronte alla tua potenza analitica e ti faccio i miei complimenti per la dimostrazione.
Da parte mia vorrei aggiungere una dimostrazione basata su ragionamenti del tutto ELEMENTARI che:
a) c'é la stessa probabilità a rimanere con 0 oppure 1 cerino nell'altra scatola, quando si prende una scatola vuota ;
b) tale probabilità è massima.
Le scatole inizialmente contengono n cerini.
Indico con p(k,n) la probabilità di rimanere con k cerini nell'altra scatola, quando si prende per la prima volta una scatola vuota.
La formula che hai scritto, tradotta in fattoriali, è:
$\large p(k,n) = \frac {(2n-k)!}{n! \cdot (n-k)! \cdot 2^{2n-k}}$
Se sostituisco k=0 e k=1, ottengo rispettivamente:
$\large p(0,n) = \frac {(2n)!}{n! \cdot (n)! \cdot 2^{2n}}$
$\large p(1,n) = \frac {(2n-1)!}{n! \cdot (n-1)! \cdot 2^{2n-1}}$
Si vede immediatamente che nella seconda espressione il numeratore e il denominatore risultano divisi per 2n rispetto alla prima espressone.
Dunque: p(0,n) = p(1,n)
Consideriamo ora l'espressione:
$\large p(k,n) = \frac {(2n-k)!}{n! \cdot (n-k)! \cdot 2^{2n-k}}$
Notiamo facilmente che, assegnando a k successivamente i valori 1, 2, 3, ...
a) il numeratore risulta diviso successivamente per:
$\large (2n-1) \cdot (2n-2) \cdot (2n-3)$...
b) il denominatore invece risulta diviso per:
$\large 2(n-1) \cdot 2(n-2) \cdot 2(n-3)$...
c) il che equivale a moltiplicare ogni volta il risultato precedente per:
$\large \frac {2(n-k)}{2n-k}$
cioè per una quantità che decresce per k>0.
In conclusione, p(k,n) (variando k e lasciando fisso n) decresce per k>0.
Salvo errori ed omissioni.
Se siete arrivati a leggere fin qui vorrei lanciare un'ammonizione.
Banach era un fumatore.
Come si legge nella sua biografia in lingua siciliana:
'N sti anni la sò saluti diclina e cuntrai nu cancru a li purmuni.
http://scn.wikipedia.org/wiki/Stefan_Banach
Nota: Pietro, perché è venuto fuori un *beep*? Che cosa significa? C'era scritta una normalissima parola siciliana: macché, non riesco a postarla, ve la scrivo alla rovescia: iartnuc.
L'insegnamento principale di questo problema è quindi: non fumate!
Gianfranco
mi sono appena connesso
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