I cerini di Banach

[Br1]

Piace molto anche a me il metodo di Franco, intuitivo e
diretto.
Guido, lo sappiamo tutti, è bravissimo nel calcolo delle
probabilità (in cui peraltro, se non ricordo male, è
favorito anche dal fatto che si occupa o si è occupato
di analisi dei dati, quindi ha forse avuto più opportunità
per entrare in confidenza con questa materia - senz'altro
molto più di me), ma il tipo di esplorazione di Franco
mi "somiglia" di più e per questo ho l'impressione di averla
capita meglio.

L'approccio di Guido, comunque, mi sembra impeccabile

(...) il fatto di aver trovato una soluzione NON SBAGLIATA mi inorgoglisce non poco .
Un anno fa non ci avrei neppure provato!

Franco mostra di stupirsi spesso dei suoi risultati e ciò è
davvero molto bello.
Mi viene in mente questo pensiero di Sophie Germain:

E' necessario aver avuto spesso torto per inorgoglirsi di aver
ragione. Gli uomini si applaudono solo quando sono stupiti
delle loro creazioni.

Potrà sembrare eccessivo, forse, ma ho voluto sottolineare
il fatto che sapersi stupire non è per niente facile e riserva
sempre, secondo me, delle gradevolissime sorprese

Guarda un po' qui!

Ci sono arrivato stamane alle 11:30 spedendo la sequenza...

...per fortuna l'OEIS ha un velocissimo motore di ricerca

[Admin]

Il mio ragionamento è il seguente:
la probabilità, in un dato istante, di prendere un cerino da una delle due scatole è la stessa, ossia $\frac 1 2$.
Ora indichiamo con la parola percorso, ogni possibile sequenza di cerini presi dalle tasche di Banach, che fa si che una delle due scatole resti vuota.
Quindi considerando un qualsiasi percorso, chiamiamolo $c$, la probabilità che questo percorso si verifichi ci è data, semplicemente, da:

$(\text{probabilita di scegliere un cerino da una delle due scatole})^{(\text{numero di cerini del percorso c})\/+\/1}$

ossia $p(c)\/=\/\(\frac 1 2\)^{l\small{+1}}$

dove $l$ è il numero di cerini del percorso $c$ (il $\/\small{+1}$ dell'esponente è dovuto al fatto che dopo aver scelto l'ultimo cerino, la scatola, diventata vuota, viene rimessa in tasca).

Appare evidente che, affinchè una scatola resti vuota, e nell'altra restino $k$ cerini, il percorso scelto deve essere una sequenza di $2n-k$ cerini;
ora i possibili percorsi, lunghi esattamente $2n-k$ cerini, sono molteplici, e sono tutti equiprobabili;
la loro probabilità di verificarsi, per quanto detto poco più sopra, vale:
$p(c)\/=\/\(\frac 1 2\)^{l\small{+1}}\/\quad\Rightarrow\quad\/\(\frac 1 2\)^{2n-k\small{+1}}$
ora il numero di percorsi possibili, formati da $2n-k$ cerini, ci è dato da dalle combinazioni di $2n-k$ elementi in classe $n$, ossia $2n-k \choose n$ (questo fatto non è immediato, ma si può comprendere cominciando ad elencare tutti i possibili percorsi formati da $2n-k$ cerini), il tutto moltiplicato per 2 data la simmetria del sistema (le due scatole sono interscambiabili).

A questo punto, la probabilità di avere una scatola vuota, e l'altra con esattamente $k$ cerini ( $p(k)$ ), equivale alla probabilità di scegliere almeno uno dei percorsi lunghi esattamente $2n-k$ cerini, ossia:

$\vspace{40}p(k)\/=\/2\/\cdot\/(\/p(c_1)\/+\/p(c_2)\/+\/...\/+\/p\(c_{\small{2n-k \choose n}}\)\/\/)\hspace{30}\Rightarrow\hspace{30}$
$p(k)\/=2\/\cdot\/p(c)\/\cdot\/{2n-k \choose n}\/\hspace{30}\Rightarrow\hspace{30}\/p(k)\/=2\/\cdot\/\(\frac 1 2\)^{2n-k+1}\/\cdot\/{2n-k \choose n}\hspace{30}\Rightarrow\hspace{30}\/p(k)\/=\/\(\frac 1 2\)^{2n-k}\/\cdot\/{2n-k \choose n}$

Da qui, il numero di cerini sprecati, in media, da Banach, come già scritto da Panurgo, ci è dato dal valore atteso di $k$, ossia:

$\langle k \rangle\/=\/\sum_{i=0}^{n}{{2n-i \choose n}\cdot\(\frac 1 2\)^{2n-i}\cdot i}\/= \/ \frac {2n + 1} {2^{\script 2n}} \cdot{{2n} \choose n} \/ - \/ 1$

SE&O

Admin

[Gianfranco]

Vi ringrazio tutti per le spiegazioni davvero ottime.
Credo di sapere quanta pazienza e quanto tempo vi sono serviti per prepararle e scriverle qui.

Sono a buon punto con la pagina Web che presto metterò in linea. Sarà una pagina un po' pienotta ma non voglio trascurare nulla di importante.

Gianfranco