Il centro della Commedia

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Gianfranco
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Il centro della Commedia

Messaggio da Gianfranco »

Cari amici, la Biblioteca Comunale di Sestri Levante mi ha proposto di preparare alcuni (telegrafici) interventi su Dante e la Matematica e qui vorrei condividere con voi alcuni problemi che incontrerò nelle mie esplorazioni.
Il primo è: Qual è il centro della Commedia? E cosa c'è lì dentro?
Il problema che propongo qui è di probabilità.
Dante_centro_commedia1.png
Dante_centro_commedia1.png (19.13 KiB) Visto 458 volte
Come vedete nella tabella, proprio al centro del Purgatorio c'è un canto che ha 139 versi e a sua volta si trova al centro di 7 canti i cui numeri di versi sono simmetrici ripetto ad esso.

Ma proprio sopra c'è un altro canto che ha le stesse caratteristiche. Quindi la Commedia potrebbe avere due centri.
Forse Dante ci ha voluto segnalare quei due canti?
Oppure queste simmetrie sono del tutto casuali?
-----------------
Attenzione: in base ai vostri interventi, formulerò meglio le seguenti domande, quindi questa pagina potrebbe cambiare.
Le domande di matematica quindi sono:
Supposto che il numero dei versi di ogni canto della Commedia sia casuale:
a) Qual è la probabilità di trovare 7 numeri disposti simmetricamente rispetto a un numero centrale?
b) Qual è la probabilià di trovare due di queste simmetrie?
Edit:
c) Qual è la probabilità di trovare UNO E UNO SOLO gruppo di ESATTAMENTE 7 canti con il centro di simmetria proprio nel canto centrale dell'Opera?
d) Qual è la probabilità di trovare DUE E DUE SOLI gruppi disgiunti di ESATTAMENTE 7 canti ciascuno con il centro di simmetria in due punti determinati dell'Opera?


c) Qual è la probabilità di trovarli con il centro di simmetria proprio nel canto centrale dell'Opera (tolto il primo canto dell'inferno che sarebbe una specie di introduzione)?
d) Qual è la probabilià di trovare due di queste simmetrie collocate in due punti determinati?

-----------------
Per rispondere, sono necessarie alcune informazioni determinanti:
1) Il numero dei versi di ogni canto è un multiplo di 3 più 1 perché Dante usa le terzine e termina ogni canto con un verso singolo.
$n=3k+1$
2) Il numero dei versi dei canti varia da 115 a 160, quindi i casi possibili per n sono 16:
$n_i={115,118,121,124,127,130,133,136,139,142,145,148,151,154,157,160}$
3) Il numero totale dei canti della Commedia è $100$.
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

Bruno
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Re: Il centro della Commedia

Messaggio da Bruno »

Interessante.

Non ho al momento neppure idee blande.

Vedo solo, en passant, che mancano i canti con 118, 121 e 127 versi, mentre quelli con 139 e 142 versi ricorrono più spesso (a pari merito).

Ci sono poi 9 canti con 151 versi e 2 canti con 115 versi, gli unici casi in cui il numero di ricorrenza non è del tipo 3k+1.

Curioso che il centro principale (139) e la sua prima cornice contengano numeri la cui somma è un quadrato perfetto (36²).
(Bruno)

...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}

delfo52
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Re: Il centro della Commedia

Messaggio da delfo52 »

tanto per fare numerologia "stramba", noto che il canto centrale è il primo ad avere un numero primo di versi, ad essere contrassegnato da una posizione "prima" e a far parte di una cantica "prima".
Enrico

franco
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Re: Il centro della Commedia

Messaggio da franco »

Provo a rispondere per prima alla c)
Perché il numero centrale della commedia (C51) risulti al centro di 7 numeri disposti simmetricamente deve risultare:
(C50=C52) & (C49=C53) & (C48=C54)
Ognuno dei tre eventi ha probabilità pari a 1/16 e quindi la probabilità che si verifichino tutti è:
P = 1/16*1/16*1/16 = 1/4096 = 0,0244% circa
(editato)

O sbaglio?

Se fosse esatta credo sia relativamente semplice rispondere anche alle altre domande ...
Ultima modifica di franco il mar feb 16, 2021 7:53 am, modificato 1 volta in totale.
Franco

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Gianfranco
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Re: Il centro della Commedia

Messaggio da Gianfranco »

franco ha scritto:
lun feb 15, 2021 7:12 pm
Provo a rispondere per prima alla c)
P = 1/16*1/16*1/16 = 1/4096 = 0,244% circa
Grazie Franco, sto affrontando il problema con simulazioni, e il risultato della simulazione (0,025% circa) concorda col tuo.
Però bisogna correggere:
1/4096 = 0,0244% circa

Cari amici, chiedo scusa, ma modificherò o chiarirò meglio le domande man mano che capirò meglio il problema che desidero porre.

Franco, in realtà tu rispondi alla domanda (che è quella che avevo posto, precisata meglio):
c) Qual è la probabilità di trovare ALMENO 7 canti con il centro di simmetria proprio nel canto centrale dell'Opera (senza escludere che ce ne siano altri in altre parti della Commedia?

In realtà le ultime due domande che volevo fare sono:
c) Qual è la probabilità di trovare UNO E UNO SOLO gruppo di ESATTAMENTE 7 canti con il centro di simmetria proprio nel canto centrale dell'Opera?
d) Qual è la probabilità di trovare DUE E DUE SOLI gruppi disgiunti di ESATTAMENTE 7 canti ciascuno con il centro di simmetria in due punti determinati dell'Opera?

Poiché, almeno per ora, non mi sento sicuro a usare formule della probabilità classica, preferisco affrontare il problema con simulazioni al computer.
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

Pasquale
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Re: Il centro della Commedia

Messaggio da Pasquale »

Ho l'impressione che le terzine non siano tali, se si guarda al particolare incastro delle rime, dal quale ogni canto forse è dipendente a tal punto che il totale dei versi debba risultare obbligatoriamente multiplo di tre, tolto l'ultimo verso.
E' possibile magari che Dante sia stato costretto a scombinare il multiplo di 3 con l'aggiunta dell'ultimo verso, per oncludere il discorso senza lasciare monco di rima il terzultimo.

Se quanto sopra fosse giusto, bisognerebbe forse anche approfondire in quale modo la rima interagisca con la parte matematica della composizione nel corso dell'avanzare dei versi. :?:
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\text {   }ciao Immagine ciao
E' la somma che fa il totale (Totò)

franco
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Re: Il centro della Commedia

Messaggio da franco »

Gianfranco ha scritto:
lun feb 15, 2021 11:30 pm
Grazie Franco, ...
Ho corretto l'errore che hai segnalato.

Tornando alla domanda c) più dettagliata, io preferisco non ricorrere alle simulazioni (non mi appassionano particolarmente ...).
Se voglio che C(51) sia al centro di una sequenza simmetrica di esattamente 7 numeri, deve essere:
(C50=C52) & (C49=C53) & (C48=C54) & (C47<>C55)
La probabilità che si verifichino tutti gli eventi è:
P = 1/16 * 1/16 * 1/16 * 15/16 = 15/65536 = 0,0229% circa

In quella cifra però non sono escluse le possibilità di avere altre situazioni di simmetria.

Prima di avventurarmi in calcoli dammi un ulteriore chiarimento: se avessi una situazione di simmetria a 9 centrata su un qualsiasi altro canto, come dovrei considerarla rispetto alla tua domanda?
Franco

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Re: Il centro della Commedia

Messaggio da franco »

un passo avanti esplorando entrambe le ipotesi che avevo in mente ...

Domanda c/1):
Unico caso di simmetria strettamente a 7 centrato sul canto C51 escludendo tutte le altre simmetrie a 7 (anche non “strette”).
I possibili canti centrali sono 94 (da C04 a C96).
Abbiamo già indicato che per il campo C51 la probabilità di stare nella definizione è P51=15/65536
Per gli altri canti, la probabilità di non stare in una sequenza simmetrica a 7 (o più) è Pxx=4095/4096
Complessivamente, la probabilità che si verifichi il caso descritto è:
P = 15/65536 * (4095/4096)^93 = 0,0223743% circa

Domanda c/2):
Unico caso di simmetria strettamente a 7 centrato sul canto C51 escludendo tutte le altre simmetrie strettamente a 7.
In questo caso le probabilità da considerare sono:
Per il canto centrale P51 = 15/65536
Per i due canti “laterali” P04 = P96 = 4095/4096
Per i restanti canti Pxx = 65521/65536
E quindi …
P = 15/65536 * (4095/4096)^2 * (65521/65536)^91 = 0,0224054% circa (edit)

... SE&O
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Re: Il centro della Commedia

Messaggio da franco »

Passo alla d) interpretandola in senso stretto, nel senso che un'eventuale ulteriore situazione di simmetria che però coinvolge 9 o più numeri è considerata ammissibile in quanto non sono "esattamente 7".

Io vedo 3 possibilità, con probabilità leggermente diverse:

d/1) i punti determinati come "centro di simmetria" sono i due canti "laterali" C04 e C96.
In tal caso P = (1/4096)^2 * (65521/66536)^92 = 0,0000058% circa

d/2) uno dei due punti determinati come "centro di simmetria" è un canto "laterale" C04 oppure C96.
In tal caso P = (1/4096)^1 * (4095/4096)^1 * (15/66536)^1 * (65521/66536)^91 = 0,0000055% circa

d/3) nessuno dei due punti determinati come "centro di simmetria" è un canto "laterale" C04 oppure C96.
In tal caso P = (4095/4096)^2 * (15/66536)^2 * (65521/66536)^90 = 0,0000051% circa

N.B.
Io sto considerando tutti i possibili eventi come indipendenti ma non ho la certezza assoluta che, escludendo il caso d/1, sia corretto.
Forse, se ho determinato due centri di simmetriatali per cui le "settuple" si sovrappongono in parte, bisogna fare qualche ragionamento aggiuntivo (che non riesco a immaginare)
Franco

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Re: Il centro della Commedia

Messaggio da Gianfranco »

Pasquale ha scritto:
mar feb 16, 2021 2:51 am
Ho l'impressione che le terzine non siano tali, se si guarda al particolare incastro delle rime, dal quale ogni canto forse è dipendente a tal punto che il totale dei versi debba risultare obbligatoriamente multiplo di tre, tolto l'ultimo verso.
E' possibile magari che Dante sia stato costretto a scombinare il multiplo di 3 con l'aggiunta dell'ultimo verso, per oncludere il discorso senza lasciare monco di rima il terzultimo.
Se quanto sopra fosse giusto, bisognerebbe forse anche approfondire in quale modo la rima interagisca con la parte matematica della composizione nel corso dell'avanzare dei versi. :?:
a) Infatti si chiamano terzine dantesche o concatenate. Il verso finale singolo in tutti i canti serve per l'appunto a dare una rima al terzultimo verso e forse anche a creare una simmetria con l'inizio del canto in cui la A compare solo due volte.
ABA BCB CDC ... UVU VZV Z
b) Le terzine incatenate formano per l'appunto una catena che tiene unito il canto legando tutti i versi, dal primo all'ultimo. Questo argomento merita di essere approfondito, ma è troppo difficile per me.
c) Anche se è equivalente, dal punto di vista matematico, nelle mie simulazioni sto usando il numero di terzine anziché quello dei versi.
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

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Re: Il centro della Commedia

Messaggio da Gianfranco »

Franco, ti ringrazio per tutte le risposte che stai dando. Anch'io preferisco le dimostrazioni matematiche alle simulazioni, ma il calcolo della probabilità è irto di difficoltà e tranelli, per cui una simulazione mi permette di avere una sorta di verifica che mi rende più sicuro dei risultati.

In realtà la domanda FILOSOFICA è:
Se nella Commedia c'è qualche aspetto numerico particolare che attira l'attenzione, è giusto dire che è stato voluto e progettato da Dante per comunicarci qualcosa che va al di là di ciò che scritto nell'opera? Oppure che è del tutto casuale?

Non ho ben chiaro per ora quali sono le domande MATEMATICHE giuste da farsi: penso vagamente che se una simmetria che si trova in un punto preciso è altamente improbabile, allora probabilmente è stata voluta.

La domanda finale dovrebbe essere:
Qual è la probabilità che 2 e solo 2 simmetrie di 7 numeri di versi (o di terzine) abbiano centri in due punti determinati della Commedia?
Ma volevo arrivarci per gradi facendo prima domande più deboli.

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franco ha scritto:
mar feb 16, 2021 8:02 am
Prima di avventurarmi in calcoli dammi un ulteriore chiarimento: se avessi una situazione di simmetria a 9 centrata su un qualsiasi altro canto, come dovrei considerarla rispetto alla tua domanda?
Rispetto alla domanda finale si dovrebbero escludere tutte le simmetrie diverse dalle due osservate.
Spero di aver spiegato lo spirito della questione.
Pace e bene a tutti.
Gianfranco

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