Questo mi è piaciuto
Dimostrare che A = A₁ + A₂.
Due in uno.
Moderatori: Gianfranco, Bruno
Questo forum è una sezione del PORTALE DI BASE CINQUE
Due in uno.
(Bruno)
...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
Re: Due in uno.
soluzione laterale ma non troppo.
1) Bruno non scrive cose a caso
2) Bruno non ha specificato dove devono posizionarsi i 45°
3) Ergo, la soluzione è indipendente da dove "guarda" l'angolo.
4) E allora io lo metto appoggiato a un lato, così che uno dei due quadrati da sommare si annulla e l'altro diventa uguale a quello grande.
1) Bruno non scrive cose a caso
2) Bruno non ha specificato dove devono posizionarsi i 45°
3) Ergo, la soluzione è indipendente da dove "guarda" l'angolo.
4) E allora io lo metto appoggiato a un lato, così che uno dei due quadrati da sommare si annulla e l'altro diventa uguale a quello grande.
Enrico
Re: Due in uno.
Enrico, sei formidabile, come sempre
In tal modo, però, hai illustrato un caso particolarissimo, uno in uno
(Bruno)
...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
Due in uno.
Prima via (analitica)
Sia $\alpha$ l’angolo $\mathtt{C}\hat{\mathtt{B}}\mathtt{F}$ e $\beta$ l’angolo $\mathtt{C}\hat{\mathtt{B}}\mathtt{E}$ dimodoché $\alpha-\beta=45^\circ$.
Abbiamo
$\displaystyle\tan\left(\alpha-\beta\right)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}=1$
Le due tangenti sono
$\displaystyle\tan\alpha=\frac{l+l_1}{l_2}$
e
$\displaystyle\tan\beta=\frac{l_1}{l+l_2}$
Sostituendo otteniamo
$\displaystyle\frac{\displaystyle \frac{l+l_1}{l_2}-\frac{l_1}{l+l_2}}{\displaystyle 1+\frac{l+l_1}{l_2}\cdot\frac{l_1}{l+l_2}}=1$
da cui, con facile algebra, segue
$\displaystyle l^2=l_1^2+l_2^2$
Seconda via (sintetica)
Con centro in $\mathtt{E}$ tracciamo la circonferenza per $\mathtt{C}$, con centro in $\mathtt{F}$ tracciamo la circonferenza per $\mathtt{A}$: le due circonferenze si intersecano nel punto $\mathtt{G}$ (sic!).
Il triangolo $\mathtt{EFG}$ è rettangolo perché $\mathtt{G}$ giace sul semicerchio $\mathtt{EF}$ (credo) e le diagonali dei quadrati sono proporzionali ai lati.
Sia $\alpha$ l’angolo $\mathtt{C}\hat{\mathtt{B}}\mathtt{F}$ e $\beta$ l’angolo $\mathtt{C}\hat{\mathtt{B}}\mathtt{E}$ dimodoché $\alpha-\beta=45^\circ$.
Abbiamo
$\displaystyle\tan\left(\alpha-\beta\right)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}=1$
Le due tangenti sono
$\displaystyle\tan\alpha=\frac{l+l_1}{l_2}$
e
$\displaystyle\tan\beta=\frac{l_1}{l+l_2}$
Sostituendo otteniamo
$\displaystyle\frac{\displaystyle \frac{l+l_1}{l_2}-\frac{l_1}{l+l_2}}{\displaystyle 1+\frac{l+l_1}{l_2}\cdot\frac{l_1}{l+l_2}}=1$
da cui, con facile algebra, segue
$\displaystyle l^2=l_1^2+l_2^2$
Seconda via (sintetica)
Con centro in $\mathtt{E}$ tracciamo la circonferenza per $\mathtt{C}$, con centro in $\mathtt{F}$ tracciamo la circonferenza per $\mathtt{A}$: le due circonferenze si intersecano nel punto $\mathtt{G}$ (sic!).
Il triangolo $\mathtt{EFG}$ è rettangolo perché $\mathtt{G}$ giace sul semicerchio $\mathtt{EF}$ (credo) e le diagonali dei quadrati sono proporzionali ai lati.
il panurgo
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
-
- Supervisore del sito
- Messaggi: 1719
- Iscritto il: ven mag 20, 2005 9:51 pm
- Località: Sestri Levante
- Contatta:
Re: Due in uno.
Cercavo una dimostrazione breve, sorprendente, ma non l'ho tovata.
Bella la soluzione sintetica di Panurgo, purtroppo per ora rimane a livello di congettura.
Propongo qui una soluzione cortissima che ho trovato con l'aiuto Maxima.
Prima parte: ho ridotto il problema all'essenziale usando anche le considerazioni di Panurgo nella sua diostrazione sintetica. Ho considerato il triangolo rettangolo isoscele ABC inscritto in un semicirconferenza di raggio 1.
Basta dimostrare che AE, EF, FB possono essere i lati di un triangolo rettangolo.
Le relazioni trigonometriche scritte nella figura si ricavano immediatamente.
Seconda parte: bisogna dimostrare che:
$AE^2+FB^2-EF^2=0$
E' un calcolo meccanico e qui subentra Maxima. a) La scrittura:
a:(1-tan(x));
assegna alla variabile a una funzione, il ";" dice che è finita la linea e chiede a Maxima di mostrare la valutazione della funzione.
b) Nella scrittura:
d:a^2+b^2-c^2;
si chiede a Maxima di assegnare alla variabile d una somma di funzioni e di mostrare la valutazione del risultato. La cosa potente è che Maxima elabora le funzioni in modo simbolico ma non si spinge troppo avanti perché non conosce le mie intenzioni.
c) La scrittura:
trigrat(d);
chiede a Maxima di semplificare l'espressione trigonoetrica portandola in forma normale (o canonica), cioè contenente solo sin e cos.
Maxima ci pensa un po' ed ecco che otteniamo 0.
Pace e bene a tutti.
Gianfranco
Gianfranco
Re: Due in uno.
W Maxima
L'idea sintetica di Guido è buona ma, rimaterializzando i tre quadrati, si può forse sfruttare più facilmente, per esempio, la proprietà degli angoli alla circonferenza rispetto a quelli al centro...
L'idea sintetica di Guido è buona ma, rimaterializzando i tre quadrati, si può forse sfruttare più facilmente, per esempio, la proprietà degli angoli alla circonferenza rispetto a quelli al centro...
(Bruno)
...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
Re: Due in uno.
Intanto, ho rimaterializzato i quadrati...
il panurgo
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
Principio di Relatività: $\mathbb{m} \not \to \mathbb{M} \, \Longleftrightarrow \, \mathbb{M} \not \to \mathbb{m}$
"Se la montagna non va a Maometto, Maometto NON va alla montagna"
Re: Due in uno.
Hai fatto bene
*** Edit del 9 marzo 2021
Allego una risoluzione abbastanza immediata.
Alla circonferenza appartiene anche il vertice inferiore sinistro del quadrato più grande, è facile comprenderlo.
(Bruno)
...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}
...........................
Invisibile un vento
l'ha apena sfioragia
sospension d'un momento;
e la bola iridessente gera 'ndagia.
{Biagio Marin}
................................................................
Meglio soluzioni sbagliate che risposte esatte.
{Rudi Mathematici}