Due in uno.

[Bruno]

Questo mi è piaciuto

Dimostrare che A = A₁ + A₂.

B5 - Due quadrati in uno.jpg (9.14 KiB) Visto 333 volte

[delfo52]

soluzione laterale ma non troppo.
1) Bruno non scrive cose a caso
2) Bruno non ha specificato dove devono posizionarsi i 45°
3) Ergo, la soluzione è indipendente da dove "guarda" l'angolo.
4) E allora io lo metto appoggiato a un lato, così che uno dei due quadrati da sommare si annulla e l'altro diventa uguale a quello grande.

[Bruno]

Enrico, sei formidabile, come sempre

4) E allora io lo metto appoggiato a un lato, così che uno dei due quadrati da sommare si annulla e l'altro diventa uguale a quello grande.

In tal modo, però, hai illustrato un caso particolarissimo, uno in uno

[panurgo]

Prima via (analitica)

DueInUno.01.480x480.png (13.53 KiB) Visto 278 volte

Sia $\alpha$ l’angolo $\mathtt{C}\hat{\mathtt{B}}\mathtt{F}$ e $\beta$ l’angolo $\mathtt{C}\hat{\mathtt{B}}\mathtt{E}$ dimodoché $\alpha-\beta=45^\circ$.

Abbiamo

$\displaystyle\tan\left(\alpha-\beta\right)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}=1$

Le due tangenti sono

$\displaystyle\tan\alpha=\frac{l+l_1}{l_2}$

e

$\displaystyle\tan\beta=\frac{l_1}{l+l_2}$

Sostituendo otteniamo

$\displaystyle\frac{\displaystyle \frac{l+l_1}{l_2}-\frac{l_1}{l+l_2}}{\displaystyle 1+\frac{l+l_1}{l_2}\cdot\frac{l_1}{l+l_2}}=1$

da cui, con facile algebra, segue

$\displaystyle l^2=l_1^2+l_2^2$

Seconda via (sintetica)

DueInUno.02.480x480.png (28.19 KiB) Visto 278 volte

Con centro in $\mathtt{E}$ tracciamo la circonferenza per $\mathtt{C}$, con centro in $\mathtt{F}$ tracciamo la circonferenza per $\mathtt{A}$: le due circonferenze si intersecano nel punto $\mathtt{G}$ (sic!).
Il triangolo $\mathtt{EFG}$ è rettangolo perché $\mathtt{G}$ giace sul semicerchio $\mathtt{EF}$ (credo) e le diagonali dei quadrati sono proporzionali ai lati.

[Gianfranco]

1) Bruno non scrive cose a caso

Cercavo una dimostrazione breve, sorprendente, ma non l'ho tovata.
Bella la soluzione sintetica di Panurgo, purtroppo per ora rimane a livello di congettura.
Propongo qui una soluzione cortissima che ho trovato con l'aiuto Maxima.

Prima parte: ho ridotto il problema all'essenziale usando anche le considerazioni di Panurgo nella sua diostrazione sintetica.

dueinuno.png (16.87 KiB) Visto 221 volte

Ho considerato il triangolo rettangolo isoscele ABC inscritto in un semicirconferenza di raggio 1.
Basta dimostrare che AE, EF, FB possono essere i lati di un triangolo rettangolo.
Le relazioni trigonometriche scritte nella figura si ricavano immediatamente.

Seconda parte: bisogna dimostrare che:
$AE^2+FB^2-EF^2=0$
E' un calcolo meccanico e qui subentra Maxima.

dueinuno2.png (32.4 KiB) Visto 221 volte

a) La scrittura:
a:(1-tan(x));
assegna alla variabile a una funzione, il ";" dice che è finita la linea e chiede a Maxima di mostrare la valutazione della funzione.

b) Nella scrittura:
d:a^2+b^2-c^2;
si chiede a Maxima di assegnare alla variabile d una somma di funzioni e di mostrare la valutazione del risultato. La cosa potente è che Maxima elabora le funzioni in modo simbolico ma non si spinge troppo avanti perché non conosce le mie intenzioni.

c) La scrittura:
trigrat(d);
chiede a Maxima di semplificare l'espressione trigonoetrica portandola in forma normale (o canonica), cioè contenente solo sin e cos.
Maxima ci pensa un po' ed ecco che otteniamo 0.

[Bruno]

W Maxima

L'idea sintetica di Guido è buona ma, rimaterializzando i tre quadrati, si può forse sfruttare più facilmente, per esempio, la proprietà degli angoli alla circonferenza rispetto a quelli al centro...

[panurgo]

Intanto, ho rimaterializzato i quadrati...

DueInUno.04.480x480.png (33.26 KiB) Visto 116 volte

[Bruno]

Intanto, ho rimaterializzato i quadrati...

Hai fatto bene